Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 137 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

137
Другим важным свойством функций системы (5.22) является их ортогональность на
отрезке –π, π в следующем смысле: интеграл по отрезку –π, π от произведения любых
двух различных функций этой системы равен нулю. Действительно,
0sin
2
1
cos
2
1
kx
k
kxdx
;
(5.23)
0cos
2
1
sin
2
1
kx
k
kxdx
.
Далее:
 

0
sinsin
2
1
coscos
2
1
coscos
nk
xnk
nk
xnk
dxxnkxnknxdxkx
при nk
.
Если k = n, то



n
nx
xdxnxnxdxnxdxkx
2
2sin
2
1
2cos1
2
1
coscoscos
2
. (5.24)
Аналогично находим
.
0
sinsin
nkпри
nkпри
nxdxkx
. (5.25)
Наконец,
,0cossin nxdxkx
(5.26)
так как
 


0
coscos
2
1
sinsin
2
1
cossin
nk
xnk
nk
xnk
dxxnkxnknxdxkx
при nk . Если k = n, то
02cos
4
1
2sin
2
1
cossin


nx
n
nxdxnxdxkx
.
Замечание. Аналогичные выкладки показывают, что функции системы (5.22)
ортогональны на любом отрезке длиной 2π.
5.3.2. Ряд Фурье. Сходимость ряда Фурье
Для тригонометрического ряда имеет место теорема разложения, аналогичная теореме
5.2.4.
Теорема 5.3.1. Пусть 2π-периодическая функция f(x) интегрируема на отрезке –π, π.
Тогда, если на отрезке –π, π функция f(x) разлагается в тригонометрический ряд
 
1
0
sincos
2
n
nn
nxbnxa
a
xf , (5.27)

Страницы