Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 135 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

135


0
2242
!2
1
...
!2
1
...
!4!2
1cos
n
n
n
n
n
n
x
n
xxx
x .
Полученное разложение справедливо для всех R
x .
4.

,1 xxf R. Имеем:



,...,11...1
,...,11,1
21
n
n
xnxf
xxfxxf
откуда, полагая х=0, получаем

,...,10,0,10
fff


1...10 nf
n
. Ряд (5.15) запишется в виде

...
!
1...1
...
!2
1
1
2
n
x
n
n
xx
. (5.18)
Пользуясь формулой (5.9), найдем радиус сходимости этого ряда


1
1
lim
1...1
!1
!
1...1
limlim
1
n
n
nn
n
n
n
a
a
R
nn
n
n
n
,
следовательно, ряд (5.18) сходится в интервале (–1,1). Можно также показать, что его сумма
f(x)=(1+х)
α
, т. е.




1
2
)1,1(,
!
1...1
1...
!
1...1
...
!2
1
11
n
nn
xx
n
n
x
n
n
xxx
В частности, при α = –1 получим
 
0
2
1...1...1
1
1
n
n
n
n
n
xxxx
x
. (5.19)
Заметим, что если α=1,2,3,…, то функция (1+х)
α
раскладывается по биному Ньютона в
многочлен, причем разложение имеет место для любого
R.
5.

xxf 1ln
.
Интегрируя равенство (5.19) в пределах от 0 до х (при
1х
), получим


dttttt
t
dt
x
n
n
x
0
32
0
...1...1
1
,
или
  
0
1132
1
1...
1
1...
32
1ln
n
n
n
n
n
n
x
n
xxx
xx
. (5.20)
Это разложение справедливо в интервале (–1,1).
В заключение отметим, что степенные ряды имеют разнообразные приложения. С их
помощью с любой заданной точностью вычисляют значения функций (в частности, значения
и е); находят приближенные значения определенных интегралов в тех случаях, когда
первообразная не выражается через элементарные функции или ее трудно найти. Так,
например, точное значение интеграла
dx
x
x
a
0
sin
найти не удается, так как первообразная

Страницы