Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 141 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

141

.
2
sin
12
cos
1
0
2
cos1
sin
1
sin
1
2
0
2
2
0
2
0
2
0
n
nx
n
n
nxdx
nn
nx
xnxdxxnxdxxfb
n
Следовательно,

1
sin
2
n
n
nx
xf
.
Этот ряд дает заданную функцию во всех точках, кроме точек разрыва
.,...2,1,0, kkx
k
В этих точках сумма ряда равна:
.

.)02(
2
1
)0()0(
2
1
kk
xfxf
5.3.3. Ряд Фурье для четных и нечетных функций
Из определения четной функции следует, что если
x
– четная функция, то
 
0
2 dxxdxx
.
Действительно,
      
 
 
0
0
00 000
,2 dxxdxxdxxdxxdxxdxxdxxdxx
так как по определению четной функции
xx
.
Аналогично доказывается, что если
x
– нечетная функция
)()( xx
, то
   


0000
.0dxxdxxdxxdxxdxx
Пусть в ряд Фурье разлагается нечетная функция
xf . Тогда произведение

nxxf cos – нечетная функция, а

nxxf sin – четная. Следовательно,

 
0
,...,3,2,1,sin
2
sin
1
,...,2,1,0,0cos
1
nnxdxxfnxdxxfb
nnxdxxfa
n
n
т. е. ряд Фурье нечетной функции содержит только синусы
 
0
1
.sin
2
,sin nxdxxfbnxbxf
n
n
n

Страницы