Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 142 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

142
Если в ряд Фурье разлагается четная функция, то произведение

nxxf cos – четная
функция, а

nxxf sin – нечетная и, следовательно,


,...,3,2,1,0sin
1
,...,2,1,0,cos
2
0
nnxdxxfb
nnxdxxfa
n
n
т. е. ряд Фурье четной функции содержит только косинусы
 
.cos
2
,cos
2
0
1
0
nxdxxfanxa
a
xf
n
nn
Полученные формулы позволяют упрощать вычисления при разыскании
коэффициентов Фурье в тех случаях, когда заданная функция является четной или нечетной.
Пример 5.3.3. Рассмотрим 2π-периодическую функцию, которая на –π, π задана формулой

2
xxf (рис. 5.3). Так как функция
xf четная, то
.,...3,2,1,cos
2
,
3
2
3
22
,0
0
2
2
0
3
0
2
0
nnxdxxa
x
dxxab
n
n
Рис. 5.3
Интегрируя дважды по частям, получаем
00
0
2
sin
4
2
sinsin2
nxdxx
n
xdx
n
nx
n
nxx
a
n

,...3,2,1,
4
1sin
4
cos
4coscos4
2
0
32
0
0
n
n
nx
n
n
n
dx
n
nx
n
nx
x
n
n
.
x
xf
0
2
3
4

Страницы