Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 144 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

144
Пример 5.3.4. Пусть требуется разложить в ряд Фурье периодическую функцию f(x) с
периодом Т=2, которая на отрезке [–1,1] задается равенством f(x)=
х (рис. 5.4).
Рис. 5.4
Так как рассматриваемая функция – четная и l=1, то

,12
2
,0
1
0
0
1
2
0
0
xxdxdxxf
l
ab
l
n



.11
2
1cos
2
cos2
sin
2sinsin
2cos2cos
2
2222
1
0
22
1
0
1
0
1
0
1
00
n
l
n
n
n
nn
xn
xdxn
n
dx
n
xn
n
xn
xxdxnxdx
l
xn
xf
l
a
Следовательно, разложение имеет вид


...
5
5cos
3
3cos
1
cos4
2
1
cos
112
2
1
222
1
22
xxx
xn
n
xf
n
n


1
22
12
12cos4
2
1
n
n
xn
.
5.3.5. Ряд Фурье для непериодической функции
Пусть функция f(x) задана на отрезке [а,
b ], причем функции f(x), f
(x) непрерывны на
[а,
b ] или имеют на этом отрезке конечное число точек разрыва 1-го рода. Покажем, что
заданную функцию f(x) в точках ее непрерывности можно представить в виде суммы ряда
Фурье.
Для этого рассмотрим функцию f
1
(x) с периодом abl
2 , совпадающую с функцией
f(x) на отрезке [а,
b
]. Разложим функцию f
1
(x) в ряд Фурье
 
1
0
1
,,sincos
2
n
nn
x
l
xn
b
l
xn
a
a
xf
.
Если

,,bax
то f
1
(x)≡ f(x), следовательно,


bax
l
xn
b
l
xn
a
a
xf
n
nn
,,sincos
2
1
0
.
Это и есть разложение в ряд Фурье функции f(x), заданной на отрезке [а, b ].
О
1
2 3
1
–
1
–
2
f
(x)
x

Страницы