Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 143 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

143
Значит, ряд Фурье данной функции имеет вид

nx
n
xf
n
n
cos
1
4
3
1
2
2
.
Это равенство справедливо при любом х
R, так как функция f(x) непрерывна на всей
числовой оси. В частности, при

,х
имеем
nx
n
х
n
n
cos
1
4
3
1
2
2
2
.
5.3.4. Ряд Фурье для 2l-периодической функции
Пусть f(x) – периодическая функция с произвольным периодом Т=2l. Разложим ее в ряд
Фурье.
Для этого сделаем замену переменной по формуле
/ltх
. Тогда функция )/(
ltf
будет периодической функцией от t с периодом
2 . Ее можно разложить в ряд Фурье на
отрезке
x
:

1
0
sincos
2
n
nn
ntbnta
a
t
l
f
, (5.30)
где
.sin
1
,cos
1
,
1
0
dtntt
l
fbntdtt
l
fadtt
l
fa
nn
Возвратимся к старой переменной х:
t
l
x
, x
l
t
, dx
l
dt
.
Тогда будем иметь:
  
dx
l
xn
xf
l
bdx
l
xn
xf
l
adxxf
l
a
l
l
n
l
l
n
l
l
sin
1
,cos
1
,
1
0
. (5.31)
Разложение (5.30) получит вид

1
0
sincos
2
n
nn
l
xn
b
l
xn
a
a
xf
, (5.32)
где коэффициенты a
0
, a
n
, b
n
вычисляются по формулам (5.31). Правая часть формулы (5.32) –
ряд Фурье для 2l-периодической функции f(x).
Отметим, что для 2l-периодической функции f(x) теорема о возможности разложения в
ряд Фурье (теорема 5.3.2) формулируется аналогично. При вычислении коэффициентов
Фурье по формулам (5.31) интегрировать можно по любому отрезку длиной 2l. Для четной
или нечетной функции f(x) вычисление
коэффициентов Фурье упрощается так же, как и в
случае 2
-периодической функции.

Страницы