Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 140 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

140
Применяя формулу (5.29), получим



.,...3,2,1,11
2
cos1
21coscos1
coscos
sin1sin1
1
sin)(
1
0
0
0
0

n
n
n
nn
n
n
n
n
nx
n
nx
nxdxnxdxnxdxxfb
n
n
Разложение (5.27) для данной функции будет


11
12
12sin4
...
5
5sin
3
3sin
sin
4
sin
112
nn
n
n
xnxx
xnx
n
xf
.
Это равенство справедливо во всех точках, кроме точек разрыва .,...2,1,0,
kkx
k
В точках
kx
k
сумма ряда равна

.0)0()0(
2
1
kk
xfxf
Отметим, что в силу 2π-периодичности функции
xf
при вычислении ее
коэффициентов Фурье по формулам (5.28), (5.29) интегрирование можно выполнять по
любому отрезку длиной 2π, например, по отрезку 0,2π. В некоторых случаях это упрощает
процесс нахождения коэффициентов.
Пример 5.3.2. Пусть требуется разложить в ряд Фурье функцию

xf с периодом
Т = 2 π, которая на промежутке 0,2π задана равенством:
xf =x. График функции
xf
изображен на рис. 5.2.
Рис. 5.2
Эта функция на отрезке –π, π задается двумя формулами:
,2
xxf
0,
x и

,xxf ].,0(
x В то же время на (0,2π] гораздо проще она задается одной формулой

xxf . Поэтому, интегрируя по отрезку
2,0 , получаем

,2
2
111
2
0
2
2
0
2
0
0
xxdxdxxfa

,0
cos
sin
1
sin
1sin1
cos
1
cos
1
0
2
2
2
0
2
0
0
2
2
0
2
0
n
nx
nxdx
n
nxdx
nn
nx
xnxdxxnxdxxfa
n
x
0
2
4
6
2
f(x)

Страницы