Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 127 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

127
Теорема 5.1.7. (Признак Лейбница). Если абсолютные величины членов
знакочередующегося ряда (5.4) монотонно убывают, т. е.
0lim и ...,
321
n
n
uuuu
,
то ряд (5.4) сходится; его сумма S положительна и не превосходит
)0(
11
uSu .
Доказательство. Рассмотрим частичную сумму ряда с четным числом членов
)(...)()(...
212432121243212 mmmmm
uuuuuuuuuuuuS
.
Все разности в скобках в силу первого условия теоремы положительны, поэтому с
возрастанием m последовательность частичных сумм
m
S
2
возрастает, причем 0
2
m
S .
Представим теперь
m
S
2
в виде
])(...)()[(
21222543212 mmmm
uuuuuuuuS
.
Отсюда следует, что
12
uS
m
для любого ... ,2 ,1
m , т. е. последовательность
m
S
2
ограничена сверху.
Итак, последовательность

m
S
2
возрастает и ограничена сверху, следовательно,
существует SS
m
m
2
lim , причем
1
0 uS
.
Покажем теперь, что и последовательность частичных сумм нечетного числа членов
сходится к тому же пределу S. Действительно,
12212
mmm
uSS . Переходя в этом равенстве
к пределу при
m
и используя второе условие теоремы, получаем
SSuSuSS
m
m
m
m
mm
m
m
m
0limlim)(limlim
12212212
.
Таким образом, последовательность частичных сумм
n
S ряда (5.4) сходится к
пределу S. Это и означает, что ряд (5.4) сходится. Кроме того, доказано, что
1
0 uS
.
Замечание. Если знакочередующейся ряд удовлетворяет условиям теоремы 5.1.7, то
нетрудно оценить ошибку, которая получится, если заменить его сумму S частичной суммой
S
n
. При такой замене отброшенный n-й остаток ряда
...)()1()1(
321
1
1
nnn
n
nk
k
k
uuuu
имеет согласно теореме 5.1.7 сумму, абсолютная величина которой не превосходит
1n
u .
Значит, при замене S на S
n
абсолютная погрешность не превосходит абсолютной величины
первого из отброшенных членов.
Пример 5.1.11. Ряд
...
)1(
...
3
1
2
1
1
)1(
1
1
1
nn
n
n
n
сходится по признаку
Лейбница, так как
а) ...
3
1
2
1
1 ; б) 0
1
limlim
n
u
n
n
n
,
причем 10 S , где S – сумма ряда.
Сумма n первых членов данного ряда
n
S
n
n
1
)1(
...
4
1
3
1
2
1
1
отличается от суммы ряда S на величину меньшую, чем
1
1
1
)1(
nn
n
.

Страницы