Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 121 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

121
Пример 5.1.1. Покажем, что ряд
1
)1(
1
...
)1(
1
...
43
1
32
1
21
1
n
nnnn
сходится и найдем его сумму.
Возьмем сумму
n
S первых n членов ряда
)1(
1
...
32
1
21
1
nn
S
n
.
Слагаемые этой суммы могут быть представлены в виде
1
11
)1(
1
..., ,
4
1
3
1
43
1
,
3
1
2
1
32
1
,
2
1
1
1
21
1
nnnn
,
поэтому
1
1
1
1
11
...
4
1
3
1
3
1
2
1
2
1
1
nnn
S
n
.
Отсюда следует, что
1
1
1
lim1
1
1
1limlim
nn
S
nn
n
n
.
Таким образом, ряд сходится и его сумма S равна 1.
Пример 5.1.2. Установим, сходится или расходится ряд
1
11
)1(...)1(...1111
n
nn
.
Для данного ряда последовательность частичных сумм ... ,0 ,1 ,0 ,1
4321
SSSS не
имеет предела, следовательно, ряд расходится.
Пример 5.1.3. Рассмотрим ряд, члены которого образуют геометрическую прогрессию
0 ,......
1
112
aaqaqaqaqa
n
nn
. (5.3)
Частичная сумма
n
S этого ряда при 1
q имеет вид
q
aq
q
a
q
aqa
aqaqaqaS
nn
n
n
111
...
12
.
Отсюда:
1.
Если 1q , то
q
a
q
aq
q
a
S
n
nn
n
n
11
lim
1
limlim
, т. е. ряд сходится и его сумма
q
a
S
1
. Например, при
2
1
,1 qa имеем:
2...
2
1
2
1
2
1
1
12
n
S .

Страницы