Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 164 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

164
1.
При любых значениях постоянных
n
CCC ,...,,
21
эта функция является решением д. у.
2.
При любых начальных условиях (6.8) найдутся значения
n
CCC ,...,,
21
такие, что
функция ),...,,,(
21 n
CCCxy
будет удовлетворять этим условиям.
Любое решение, полученное из общего решения при каких-либо конкретных значениях
n
CC ,...,
1
, называется частным решением. Общим интегралом д. у. п-го порядка называется
уравнение вида 0),...,,,,(
21
n
CCCyx , неявно определяющее общее решение.
Пример 6.2.1. Показать, что функция
x
eCCy
21
является общим решением
уравнения
0
yy .
Решение. Находим производные:
yeCyeCy
xx
22
,
, т. е.
y
обращает д. у.
0
yy в тождество по
x
при любых значениях
1
C и
2
C . Далее, пусть даны произвольно
начальные условия
1000
)(,)( yxyyxy
. Покажем, что постоянные
1
C и
2
C можно
подобрать так, что
x
eCCy
21
будет удовлетворять этим условиям. Имеем:
x
eCCy
21
,
x
eCy
2
. Полагая
0
xx
, получаем систему
021
0
yeCC
x
,
12
0
yeC
x
, из которой
однозначно определяются
0
12
x
eyC и
101
yyC
. Таким образом, решение
xx
eyyyy
0
110
удовлетворяет поставленным начальным условиям.
6.2.2. Уравнения, допускающие понижения порядка
Укажем два вида дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка.
Признак 1. Уравнение не содержит искомой функции и ее производных до порядка
(К-1) включительно, т. е. младшая производная, входящая в уравнение, есть
)(K
y .
Метод решения: замена
)(K
yp , понижающая порядок уравнения на К единиц. При
этом )(xpp
есть функция переменной
x
.
Пример 6.2.2. Найти общее решение дифференциального уравнения
)0()(
22
xyxyyx .
Решение. Уравнение не содержит функции
y
и ее производной y
. Введем новую
неизвестную функцию )()( xyxp
. Уравнение примет вид
2
22
1,
x
p
x
p
ppxppx
. (6.9)
Это однородное уравнение. Введем новую функцию xxpxu /)()(
:
22
1,1 u
dx
du
xuuuux
.
Разделяем переменные и интегрируем
12,1,ln1ln,
1
2222
2
xCCxuCxuuxCuu
x
dx
u
du
.
Так как xpu / , то
C
x
C
xpxCCp
2
1
2
)(,12
222
.

Страницы