Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 165 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

165
Мы получили общее решение уравнения (6.9). Учитывая, что yp
, имеем
C
x
C
y
2
1
2
2
. Отсюда двукратным интегрированием находим
)(xy
:
21
24
1
3
4
1
24
,
2
1
6
CxCx
C
x
C
yCx
C
x
C
y
.
Признак 2. Уравнение не содержит независимого переменного
x
.
Метод решения: замена )( ypy
. При этом
p
рассматривается как новая
неизвестная функция от :
y
)( ypp . Тогда ,pp
dx
dy
dy
dp
dx
dp
dx
yd
y
pppp
dx
dy
dy
dp
pp
dx
dy
dy
pd
dx
dp
pp
dx
pd
dx
ppd
dx
yd
y
22
)(
)(
.
Аналогично находят производные более высокого порядка. Замена понижает порядок
уравнения на единицу.
Пример 6.2.3. Найти решение задачи Коши:
.25,0)0(,5,0)0(,)(
22
yyyyyyy
Решение. Вводим новую функцию yyp
)(. Имеем
yypppyppyp
/,
22
. (6.10)
Это линейное уравнение для
)( yp
. Найдем общее решение однородного уравнения:
.,lnlnln,,0 CypCyp
y
dy
p
dp
y
dy
p
dp
y
p
p
Считая )( yCC функцией и подставляя yyCp
)( в уравнение (6.10), получим:
1
)(,1)(,)( CyyCyCyyyC
, )(),(
11
Cyy
dx
dy
Cyyp .
Разделяем переменные и интегрируем
,
)(
1
dx
Cyy
dy

0,ln
121
1
CCxC
Cy
y
.
Последнее соотношение есть общий интеграл исходного уравнения. Кроме того,
уравнение имеет решения
xC
yCy
1
,. Удовлетворим начальным условиям.
Соотношение
)(
1
Cyyy
с учетом условия для
)0(y
дает
1,
2
1
2
1
4
1
11
CC
;
согласно начальному условию для )0(y из общего интеграла получаем
0
2
C
. Функции
Cy
и

xCy /1 начальным условиям не удовлетворяют.
Ответ: x
y
y
1
ln или
x
x
e
e
y
1
.

Страницы