Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 167 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

167
Определитель
)(...)()(
............
)(...)()(
)(...)()(
)(
)1()1(
2
)1(
1
21
21
xyxyxy
xyxyxy
xyxyxy
xW
n
n
nn
n
n
(6.12)
называется определителем Вронского, или вронскианом. Вронскиан является функцией от
x
,
определенной в некотором интервале.
Теорема 6.3.2. Если определитель Вронского системы функций )(...,),(),(
21
xyxyxy
n
отличен от 0 в любой точке интервала ),( ba , то функции образуют линейно независимую
систему на этом интервале.
Пример 6.3.3. Доказать, что функции образуют линейно независимую систему на
интервале (
;
).
Решение. Находим вронскиан системы функций
xx
eyey
2
21
, :
xxx
xx
xx
xx
xx
eee
ee
ee
ee
ee
xW
333
2
2
2
2
2
2)()(
)(
.
Так как 0)( xW , то система функций линейно независимая.
Заметим, что утверждение, обратное утверждению теоремы 6.3.2, вообще говоря,
неверно.
Теорема 6.3.3. Пусть функции )(...,),(),(
21
xyxyxy
n
являются решениями
линейного однородного уравнения
n -го порядка (6.11). Тогда:
1.
Определитель Вронского системы функций либо равен 0 в любой точке );( ba , либо
отличен от 0 в любой точке
);( ba .
2.
Система функций является линейно независимой системой на );( ba тогда и только
тогда, когда вронскиан системы отличен от 0 в любой точке интервала
);( ba
.
3.
Система функций является линейно зависимой системой на
);( ba
тогда и только
тогда, когда вронскиан системы равен 0 в любой точке
);( ba
.
Фундаментальной системой решений линейного однородного д. у. n-го порядка (6.11)
называется система функций )(...,),(),(
21
xyxyxy
n
, удовлетворяющая условиям:
1.
Каждая функция системы является решением д.у. (6.11).
2.
Система функций линейно независимая.
Теорема 6.3.4. Общее решение линейного однородного д. у. n-го порядка (6.11) имеет
вид )(...)()(
2211
xyCxyCxyCy
nn
, где
n
CCC ,..,,
21
– произвольные константы, а
функции )(...,),(),(
21
xyxyxy
n
образуют фундаментальную систему решений д. у. (6.11).
Линейным неоднородным д. у.
n -го порядка называется уравнение
)()(...)()()(
0
)2(
2
)1(
1
)(
xfyxpyxpyxpyxp
n
n
n
n
n
n
. (6.13)
Теорема 6.3.5. Общее решение линейного неоднородного д. у. (6.13) имеет вид суммы
yyyy
.0.0.0
ч.н.
общего решения
.0.0
y линейного однородного уравнения (6.11),
соответствующего данному, и какого-либо частного решения
y
ч.н.
неоднородного уравнения
(6.13).
Учитывая утверждение теоремы 6.3.4, общее решение линейного неоднородного д. у.
n
_
го порядка можно записать в виде
yxyCxyCxyCy
nn
)(...)()(
2211
ч.н.
.

Страницы