Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 169 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

169
04
02
2
1
аааД , тогда квадратное уравнение имеет два различных комплексных
корня iK
2,1
(0
). Поэтому xeCxeCy
xx
oo
sincos
21..
.
2.
Частное решение y
ч.н.
неоднородного уравнения (6.14) находим методом подбора,
который можно применить, в частности, в случае, когда вид правой части уравнения (6.14)
следующий:
xxQxxPexf
ms
x
sin)(cos)()(
, (6.16)
где )(xP
s
и )(xQ
m
– многочлены степени s и m соответственно;
,– некоторые
действительные числа. При этом
y
ч.н.
необходимо искать в виде
y
ч.н.
xxQxxPex
xk
sin)(
~
cos)(
~
, (6.17)
где

)(
~
);(
~
;,max xQxPms
– многочлены степени с неопределенными
коэффициентами;
k есть кратность числа )(
i
как корня характеристического уравнения
если )(
i не является корнем, то
k
=
0 .
Частные случаи. Если )()( xPxf
s
– многочлен степени
(тогда в (6.16) 0
),
то
y
ч.н.
)(
~
xPx
s
k
, где )(
~
xP
s
– многочлен степени
с неопределенными коэффициентами;
k – кратность нулевого корня 0
iK (т. е. кратность числа «ноль» как корня
характеристического уравнения). Например, если
0
K не является корнем
характеристического уравнения, то
y
ч.н.
)(
~
xP
s
; если 0
K – корень кратности 1, то
y
ч.н.
)(
~
xPx
s
; если 0
K – корень кратности 2, то
y
ч.н.
)(
~
2
xPx
s
; если 0K – корень
кратности 3, то
y
ч.н.
)(
~
3
xPx
s
и т. д.
Если )()( xPexf
s
x
(в (6.16) 0
), где )(xP
s
многочлен степени
,
– некоторое
число, то
y
ч.н.
= )(
~
xPex
s
x
, где )(
~
xP
s
– многочлен степени
с неопределенными
коэффициентами;
k – кратность числа
как корня характеристического уравнения.
Например, если число
не является корнем, то
y
ч.н.
= )(
~
xPe
s
x
; если
– корень кратности 1,
то
y
ч.н.
)(
~
xPxe
s
x
; если
– корень кратности 2, то y
ч.н.
)(
~
2
xPex
s
x
, и т. д. Все
рассуждения справедливы для случая
0
s , когда constaxPconstaxP
ss
~
)(
~
,)(.
Если xxQxxPxf
ms
sin)(cos)()( (в (6.16) 0
), то
y
ч.н.
xxQxxPx
sin)(
~
cos)(
~
, где k – кратность числа
iK как корня
характеристического уравнения,
ms,max
.
Если

xbxaexf
x
sincos)( , где ba,,
– некоторые числа (в (6.16)
)(),( xQxP
ms
– многочлены нулевой степени, т. е. 0 ms ), то
y
ч.н.
xbxaex
x
sin
~
cos
~
, где ba
~
,
~
– подлежащие определению произвольные
постоянные,
k – кратность числа
iK
как корня характеристического уравнения.
В частности, при xbxaxf
sincos)(0 ,
y
ч.н.
xbxax
sin
~
cos
~
, а при 0
имеем
x
aexf
)(,
y
ч.н.
x
exa
~
.

Страницы