Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 168 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

168
6.3.2. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными
коэффициентами
Признак. Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами
имеет вид
)(...
01
)1(
1
)(
xfyayayaya
n
n
n
n
, (6.14)
где
n
aaa ...,,,
10
– постоянные (0
n
a ).
Метод решения. Общее решение уравнения (6.14) складывается из общего решения
.0.0
y однородного уравнения
0...
01
)1(
1
)(
yayayaya
n
n
n
n
(6.15)
и частного решения
y
ч.н.
неоднородного уравнения (6.14): yyy
.0.0
ч.н.
.
1.
Для нахождения
.0.0
y составляем характеристическое уравнение
0...
01
1
1
aKaKaKa
n
n
n
n
.
Пусть
n
KKK ...,,,
21
– его корни, причем корень повторяется столько раз, какова его
кратность. Каждому из корней
n
KKK ...,,,
21
соответствуют в выражении для
.0.0
y свои
слагаемые. Именно:
если корень
m
KKK ...
21
– действительный корень кратности m , то ему
соответствуют в выражении для
.0.0
y m слагаемых
1
21
...
mx
m
xx
xeCxeCeC
, где
miC
i
,...1, – произвольные постоянные. Например, если корень имеет кратность 1
m , то
ему соответствует одно слагаемое
x
eC
1
; если 2
m – два слагаемых: xeCeC
xx
21
;
если
iK
1
и
iK
2
– пара комплексно-сопряженных корней кратности
m , то соответствующие (2 m ) слагаемых в выражении для
.0.0
y имеют вид
,sin...sinsin
cos...coscos
1
221
1
21
xexCxxeCxeC
xexCxxeCxeC
xm
m
x
m
x
m
xm
m
xx
где )2,...,2,1( miC
i
– произвольные постоянные.
Например, если
iK
2,1
– корни кратности 1, то им в выражении для
.0.0
y
соответствуют слагаемые xeCxeC
xx
sincos
21
;
если эти корни имеют кратность 2, то в выражении для
.0.0
y войдут слагаемые
xxeCxeCxxeCxeC
xxxx
sinsincoscos
4321
.
Частные случаи. Рассмотрим уравнение 2-го порядка 0'''
012
yayaya , 0
2
a . Его
характеристическое уравнение 0
01
2
2
akaka есть квадратное уравнение. Различают три
случая:
дискриминант уравнения 04
02
2
1
аааД , тогда характеристическое уравнение
имеет два различных действительных корня К
1
и К
2
, поэтому
xКxК
oo
eCeCy
21
21..
;
04
02
2
1
аааД , тогда корень только один: К
1
= К
2
= К, поэтому
xeCeCy
КxКx
oo 21..
;

Страницы