Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 170 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

170
Замечание 1. Когда выражение (6.16) содержит или только x
sin , или только
x
cos ,
частное решение
y
ч.н.
необходимо искать в виде, содержащем слагаемые и с x
sin , и с
x
cos
.
Замечание 2. Если правая часть уравнения (6.14) содержит несколько слагаемых вида
(6.16), то частные решения находятся для каждого слагаемого отдельно и затем суммируются
в выражении для общего решения неоднородного уравнения.
6.3.3. Линейные уравнения второго порядка с переменными
коэффициентами. Метод вариации произвольных постоянных
Признак. Уравнение имеет вид
)()()(
21
xQyxPyxPy
. (6.18)
Метод решения. Согласно методу вариации постоянных общее решение уравнения
(6.18) следует искать в виде
2211
)()( yxCyxCy
, где
21
, yy
– фундаментальная система
решений соответствующего однородного уравнения
0)()(
21
yxPyxPy . (6.19)
Функции
)(
1
xC
и
)(
2
xC
определяются из системы:
)(,0
22112211
xQCyCyCyCy
. (6.20)
Сначала находим
21
, CC
, затем интегрированием
21
, CC .
Заметим, что при всяком фиксированном x система (6.20) представляет собой систему
из двух линейных уравнений относительно неизвестных
)(
11
xCC
и
)(
22
xCC
.
Определитель матрицы системы (6.20) равен определителю Вронского системы функций
)(),(
21
xyxy . Так как функции )(),(
21
xyxy образуют фундаментальную систему решений
однородного уравнения (6.19), то определитель Вронского отличен от 0 при любом
x
.
Значит, линейная система (6.20) имеет единственное решение.
Пример 6.3.4. Найти общее решение уравнения:

.cossin
2
1
2
5
xxyy
Решение. Соответствующее однородное уравнение 0
yy .
Его характеристическое уравнение
01
2
K
имеет корни iK
2,1
, и общее решение
однородного уравнения имеет вид xCxCy sincos
21.0.0
, где xyxy sin,cos
21
. Общее
решение исходного неоднородного уравнения ищем в виде
xxCxxCy sin)(cos)(
21
.
Составляем систему уравнений (6.20) для
21
, CC
:
.
)(cos)(sin)(cos)(sin
0)(sin)(cos
2
1
2
5
21
21
xxxCxxCx
xCxxCx
(6.21)

Страницы