Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 172 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

172
6.3.4. Понятие о краевой задаче
Краевой задачей называется задача: найти функцию y = y(x), которая в интервале (a;b)
удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению
)()(')(''
21
xQyxPyxPy
,
а на концах интервала краевым условиям Aayay
)(')(
00
, Bbyby )(')(
11
.
При этом предполагается, что функции P
1
(x), P
2
(x), Q(x) определены и непрерывны на
(a; b), а α
0
, β
0
, α
1
, β
1
, A, B – одновременно не равные нулю заданные постоянные. Краевые
условия называются однородными, если А = В = 0.
Краевая задача не всегда имеет решение. Для решения краевой задачи следует сначала
найти общее решение уравнения, а затем из краевых условий составить систему для
определения значений постоянных С
1
и С
2
.
Пример 6.3.5. Найти частное решение уравнения
0''
yy
, удовлетворяющее краевым
условиям: y(0) = 0, y(π/2)=1.
Решение. Общее решение уравнения 0''
yy есть xCxCy sincos
21
. Из первого
краевого условия y(0) = 0 находим:
0sin0cos0
21
CC
, 0 = С
1
, т. е. xCy sin
2
. Из второго
краевого условия y(π/2) = 1 находим:
2
sin1
2
C , 1 = С
2
. Поэтому функция xy sin
является решением краевой задачи.
6.4. Системы дифференциальных уравнений
6.4.1. Основные понятия
Системой обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка называется
система, содержащая неизвестную переменную t, неизвестные функции
)(
11
txx
,
)(
22
txx , …, )(txx
nn
и их производные )(
1
tx
, )(
2
tx
, …, )(tx
n
. Нормальной системой
называется система вида
),...,,,(
21 nk
k
xxxtf
dt
dx
, nk ,...,1
. (6.22)
Нормальная система 2-го порядка имеет вид
),,(
211
1
xxtf
dt
dx
,
),,(
212
2
xxtf
dt
dx
. (6.23)
Например, нормальной является система уравнений
2
1
xt
dt
dx
,
21
2
xx
dt
dx
.
Число n называется порядком системы (6.22). Решением системы (6.22) в интервале
(a,b) называется совокупность функций )(),...,(
11
txtx
nn
, определенных и непрерывно
дифференцируемых в интервале (a,b), если они обращают уравнения системы (6.22) в
тождества, справедливые для всех
),( bat
.

Страницы