Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 174 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

174
Система (6.23) определяет в каждый момент времени t в данной точке фазовой плоскости
координаты скорости
};{
21
ff движущейся точки.
6.4.2. Метод исключения неизвестных
Рассмотрим нормальную систему:
),,('
1
yxtfx
, ),,('
2
yxtfy
,
где ),( bat , )(txx , )(tyy – неизвестные функции. Для того чтобы решить систему
методом исключения, следует:
1.
Из первого уравнения системы выразить y через t, x, x'.
2. Подставить у и у' во второе уравнение системы, в результате чего будет получено
уравнение 2-го порядка относительно неизвестной функции х.
3.
Решить это уравнение и найти х = х(t).
4.
Найти у = у(t).
Пример 6.4.2. Решить систему методом исключения неизвестных: х' = y+1, y' = x.
Решение. Из первого уравнения находим у = х' – 1, тогда у' = (x' – 1)' = x''. Подставляя
у = х' – 1 и у' = x'' во второе уравнение системы, получаем уравнение x'' = х или x'' – х = 0.
Это линейное однородное уравнение 2-го порядка. Его общее решение есть
tt
eCeCx
21
.
Находя производную по t, получаем
tt
eCeCx
21
', откуда 11'
21
tt
eCeCxy .
Общее решение имеет вид:
tt
eCeCx
21
, 1
21
tt
eCeCy .
6.4.3. Метод Эйлера
Линейной однородной системой 2-го порядка с постоянными коэффициентами
называется система д. у. вида
yaxax
1211
'
,
yaxay
2221
'
, (6.25)
где коэффициенты
ik
a – постоянные, а х = х(t), у = у(t) – неизвестные функции от t. Систему
(6.25) можно коротко записать в виде одного матричного уравнения Х' = А·Х,
где
2221
1211
аа
аа
А ,
)(
)(
ty
tх
Х ,
)('
)('
'
ty
tx
X .
Система частных решений
)(
)(
)(
1
1
1
ty
tх
tХ
,
)(
)(
)(
2
2
2
ty
tх
tХ
называется фундаментальной, на (а,b), если ее определитель Вронского
0
)()(
)()(
)(
21
21
tyty
txtx
tW
для всех ),( bat .
Теорема 6.4.2. Если система частных решений однородного уравнения Х' = А·Х
является фундаментальной, то общее решение этого уравнения имеет вид
Х = Х(t) = C
1
Х
1
(t) + C
2
X
2
(t), где С
1
, С
2
– произвольные постоянные.

Страницы