Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 175 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

175
Для интегрирования систем (6.25) применяется метод Эйлера. Решение системы (6.25)
ищем в виде
rt
ex
,
rt
ey
, где λ, µ, r – постоянные. Подставляя х, у в (6.25) и сокращая
на
rt
e
, получаем систему:
0)(
1211
arа , 0)(
2221
raa . (6.26)
Система (6.26) имеет ненулевое решение, когда ее определитель Δ равен нулю:
0
2221
1211
raa
ara
. (6.27)
Уравнение (6.27) называется характеристическим, это квадратное уравнение
относительно r:
0))((
12212211
aarara . Рассмотрим три случая.
1.
Пусть уравнение (6.27) имеет два различных действительных корня r
1
, r
2
. Подставив
в (6.26) вместо r число r
1
, получим числа λ
1
,
1
. Затем положим в (6.26) r = r
2
и найдем λ
2
,
2
.
Общее решение системы есть:
trtr
eCeCx
21
2211
,
trtr
eCeCy
21
2211
. (6.28)
Пример 6.4.3. Решить систему х' = 8у – х, у' = х + у.
Решение. Выпишем систему (6.26):
08)1(
r , 0)1(
r . (6.29)
Характеристическое уравнение:
08)1)(1(
11
81
rr
r
r
имеет корни r
1
= 3 и r
2
= –3. Подставляя r
1
= 3 в (6.29), получаем два уравнения для
определения λ
1
, µ
1
: –4λ
1
+ 8µ
1
= 0, λ
1
– 2µ
1
= 0, из которых одно является следствием другого
(в силу того, что определитель системы (6.29) равен нулю). Положим µ
1
= 1, тогда λ
1
= 2.
Аналогично, подставляя в (6.29) r
2
= –3, получаем 082
22
, 04
22
. Полагая
µ
2
= 1, находим λ
2
= –4. Подставляем найденные значения в (6.28), получаем общее решение
системы:
tt
eCeCx
3
2
3
1
42
,
tt
eCeCy
3
2
3
1
.
2.
Пусть уравнение (6.27) имеет только один корень r = r
1
= r
2
. Решение следует искать
в виде
rt
etx )(
11
,
rt
ety )(
22
. Подставляя х, у в первое уравнение системы (6.25) и
сокращая на e
rt
, получаем:
)()()(
22121111111
tatatr
.
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t в левой и правой части,
получаем:
2121111
aar
,
21211111
aar
. Если
0
12
а
, то отсюда легко выразить
λ
2
, µ
2
через λ
1
, µ
1
. Величины λ
1
, µ
1
остаются произвольными. Полагая λ
1
= С
1
, µ
1
= С
2
,
находим общее решение. Если же
a
12
= 0, то
a
11
=
a
22
= r (т. к. корень r только один),
поэтому µ
1
= 0, λ
1
= С
1
, λ
2
= С
2
, µ
2
= a
21
С
1
.
3.
Пусть уравнение (6.27) имеет два комплексных корня
ir
2,1
(
0
).
Подставляя
ir
1
в первое уравнение системы (6.26), получаем уравнение
0)(
1211
aia . Полагаем µ = 1, находим
1211
/)( aia
, тогда
rt
ex
1
,
rt
ey
1
. Общее решение системы имеет вид
1211
ImRe xCxCx
,
1211
ImRe yCyCy
, где Rez и Imz обозначают соответственно действительную и
мнимую части комплексного числа z, т. е. если
iz
, то Rez = α, Imz = β.

Страницы