Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 173 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

173
Задачей Коши для системы (6.23) называется задача нахождения решения этой
системы, удовлетворяющего начальным условиям
0
101
)( xtx ,
0
202
)( xtx , (6.24)
где ),(
0
bat ,
0
1
x ,
0
2
x – заданные числа.
Теорема 6.4.1. Пусть имеем нормальную систему д. у. (6.23), и пусть функции
),,(
211
xxtf и ),,(
212
xxtf определены в некоторой области V изменения переменных t, x
1
, x
2
.
Если существует окрестность точки
),,(
0
2
0
100
xxtM
, в которой функции
1
f и
2
f :
1.
Непрерывны.
2.
Имеют ограниченные частные производные по переменным x
1
и x
2
, то найдется
интервал t
0
– h < t < t
0
+ h изменения t, в котором существует единственное решение системы
(6.23), удовлетворяющее начальным условиям (6.24).
Общим решением системы (6.23) называется система функций
),,(
2111
CCtxx ,
),,(
2122
CCtxx
независимой переменной t и произвольных постоянных С
1
, С
2
, если:
1.
При любых допустимых значениях С
1
, С
2
система функций х
1
, х
2
обращает
уравнения (6.23) в тождества.
2.
В области, где выполняются условия теоремы 6.4.1, функции х
1
, х
2
решают любую
задачу Коши.
Пример 6.4.1. Доказать, что система функций
tt
eCeCx
3
211
,
tt
eCeCx
3
212
22
является общим решением системы уравнений
211
/ xxdtdx
,
122
4/ xxdtdx
. Найти
частное решение системы, удовлетворяющее условиям х
1
(0) = 0, х
2
(0) = –4.
Решение. В данном примере область V есть: 
t ,
1
x ,

2
x . Находим производные:
tt
eCeCx
3
211
3
,
tt
eCeCx
3
212
62
, и
подставляя их и функции х
1
, х
2
в систему, получаем тождества. Таким образом, условие 1
выполнено. Проверим выполнение условия 2. Заметим, что условия теоремы 6.4.1.
выполняются. Возьмем произвольную тройку чисел
0
2
0
10
,, xxt . Тогда начальные условия
(6.24) дадут для определения С
1
, С
2
систему
00
3
21
0
1
tt
eCeCx
,
00
3
21
0
2
22
tt
eCeCx
.
Определитель этой системы 04
0
2
t
e . Следовательно, она однозначно разрешима
относительно С
1
, С
2
при любых
0
2
0
10
,, xxt
. Это равносильно тому, что разрешима любая
задача Коши. Мы доказали, что функции х
1
, х
2
образуют общее решение системы.
Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям х
1
(0) = 0, х
2
(0) = –4.
Подставим в общее решение 4,0,0
0
2
0
10
xxt . Получаем: 0 = С
1
+ С
2
, –4 = 2С
1
– 2С
2
.
Решая эту систему, находим С
1
= –1, С
2
= 1. Решение задачи Коши есть:
tt
eex
3
1
,
tt
eex
3
2
22
.
Рассмотрим систему (6.23). Будем рассматривать систему значений
21
,, xxt , как
декартовы координаты точки пространства. Решение задачи Коши изображает в этом
пространстве некоторую линию, проходящую через точку ),,(
0
2
0
100
xxtM . Эта линия
называется интегральной кривой. Задача Коши для системы (6.23) получает следующую
геометрическую формулировку: найти интегральную кривую, проходящую через данную
точку М
0
. Теорема 6.4.1 устанавливает существование и единственность такой линии.
Нормальной системе (6.23) и ее решению можно дать еще такое толкование. Будем
переменную t рассматривать как время, а систему значений х
1
, х
2
как координаты точки
плоскости х
1
Ох
2
. Эту плоскость переменных х
1
, х
2
называют фазовой плоскостью. В фазовой
плоскости решение
)(
11
txx
, )(
22
txx системы изображается линией, проходящей через
точку ),(
0
2
0
1
xx . Эту линию называют траекторией системы (фазовой траекторией).

Страницы