Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 163 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

163
Итак,
x
N
y
M
– верно. Тогда имеем:
x
xyy
x
F 1
sinsin
,
)(lncossin)(
1
sinsin yxxyyxydx
x
xyyF
.
Далее, подставляя F в уравнение
y
xyx
y
F 1
coscos
, находим )(y
:
y
xyxyxyx
1
coscos)(coscos
,
Cyy
y
y
ˆ
lnln)(,
1
)(
.
Тогда CxyxyyxyxF
ˆ
lncossin),( . Общий интеграл исходного уравнения имеет
вид (положили
1
ˆ
C ): Cxyxyyx lncossin , где C – произвольная постоянная.
6.2. Дифференциальные уравнения высших порядков
6.2.1. Дифференциальные уравнения n-го порядка – основные понятия
Задача Коши для д. у.
n -го порядка формулируется следующим образом: найти
решение д. у.
),...,,,(
)1()(
nn
yyyxFy , (6.7)
удовлетворяющее начальным условиям:
10
)1(
201000
)(,...,)(,)(,)(
n
n
yxyyxyyxyyxy . (6.8)
Теорема 6.2.1. Пусть в уравнении (6.7) функция ),...,,(
)1(
n
yyyxF :
1.
Непрерывна по всем своим аргументам в некоторой области D их изменения.
2.
Имеет ограниченные частные производные 1-го порядка по переменным
)1(
,...,,
n
yyy в области D .
Тогда найдется интервал );(
00
hxhx
, на котором существует единственное решение
д. у. (6.7), удовлетворяющее начальным условиям (6.8).
Для уравнения 2-го порядка ),,( yyxFy
условия (6.8) имеют вид:
1000
)(,)( yxyyxy
, где
100
,, yyx – заданные числа. Геометрически это означает, что
требуется найти интегральную кривую на плоскости xOy , проходящую через точку
),(
000
yxM с заданным углом
наклона касательной (
1
ytg
).
Общим решением д. у. (6.7) называется функция ),...,,,(
21 n
CCCxy
,
удовлетворяющая условиям:

Страницы