Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 162 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

162
Решение. Сделаем замену )(/1)( xyxz
. Получаем:
xxzzx
z
x
z
z
z
coscos,cos
1
cos
1
22
.
Последнее уравнение – линейное. Его общее решение CCez
x
,1
sin
–
произвольная постоянная. Тогда общее решение исходного уравнения
.)sinexp(1
1
xCy
Удовлетворяя начальному условию, получим 2
C . Решение задачи Коши имеет
вид

1
)sinexp(21
xy .
6.1.5. Уравнения в полных дифференциалах
Признак. Уравнение в полных дифференциалах имеет вид
0),(),(
dyyxNdxyxM
, где
функции
),( yxM
и
),( yxN
удовлетворяют условию
x
yxN
y
yxM
),(),(
. (6.4)
Метод решения. Соотношение (6.4) равносильно существованию функции
),( yxFF
, удовлетворяющей условиям:
),(
),(
),,(
),(
yxN
y
yxF
yxM
x
yxF
. (6.5)
Следует найти функцию
),( yxF
. Интегрированием из первого условия (6.5) получим
)(),(),( ydxyxMyxF
, (6.6)
где )( y
– пока произвольная функция. Подставляя ),( yxF из (6.6) во второе уравнение
(6.5), имеем

),()(),( yxNydxyxM
y
, откуда находим )( y
, а затем и )( y
(при
этом постоянную интегрирования в выражении для )( y
можно задать произвольным
конкретным числом). Общий интеграл исходного уравнения имеет вид CyxF
),(, где
C
– произвольная постоянная.
Пример 6.1.12. Найти общий интеграл уравнения:
0
1
coscos
1
sinsin
dy
y
xyxdx
x
xyy .
Решение. Проверим, является ли данное уравнение уравнением в полных
дифференциалах:
,
1
coscos,
1
sinsin
y
xyxN
x
xyyM
xy
x
N
xy
y
M
sincos,sincos
.

Страницы