Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 160 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

160
Возвращаясь к переменным
1
3
,
1
1
x
y
x
y
uyx
, общий интеграл уравнения запишем
в виде
22
1
2121
2
1
3
2
1
3
xC
x
y
x
y
.
6.1.4. Линейные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли
Признак. Линейное уравнение 1-го порядка имеет вид
)()( xQyxPy
, (6.1)
где )(),( xQxP – заданные функции, непрерывные на интервале ),( ba .
Метод решения. Следует искать решение уравнения в виде произведения двух
функций: )()()( xVxUxy
. Подставляя в (6.1), получим
QUVPVUV
. Функцию V
определяют из условия
0
VPV
(тогда
dxxPCV )(exp , где постоянную
интегрирования
C можно без ограничения общности выбрать равной единице), затем
находят
U из уравнения QUV
(тогда

CCdxVQU ,/ – произвольная постоянная
интегрирования). Общее решение уравнения (6.1) имеет вид
.)(exp)()(exp
dxdxxPxQCdxxPy .
Замечание. Решение можно получить также методом вариации произвольной
постоянной, который для линейного уравнения первого порядка эквивалентен указанному
выше методу: сначала находят общее решение однородного уравнения

dxxPCVVxPV )(exp,0)(, а затем, считая произвольную постоянную
C
функцией, зависящей от
x
, общее решение полного (неоднородного) уравнения отыскивают
в виде
PdxxCy exp)(. Подставляя )(xy в (6.1), получим уравнение для )(xC
:
QdxxPxC
)(exp)(.
Пример 6.1.9. Найти решение задачи Коши
0)(,1/ln2ln
222
eyxxxyxxy
.
Решение. Будем искать общее решение уравнения в виде )()( xVxUy , тогда
VUVUy
. Подставляя выражения для
y
и y
в уравнение, получим

222
1/ln2lnln xxxUVxVxUxVx
. (6.2)
Функцию
V
находим из условия
0ln
VxVx
. Тогда имеем
xCVCxV
xx
dx
V
dV
ln,lnlnlnln,
ln
.
Выбирая любое частное решение, например,
1ln
CxV
, и подставляя его в (6.2),
получим уравнение для
)(xU :
2222
1/ln2ln xxxUxx
.

Страницы