Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 158 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

158
уравнения, а все множители с
x
– в левую), получаем:
3
2
3
2
81 y
dyy
x
dxx
. Интегрируем:

3
2
3
2
81 y
dyy
x
dxx
. Вычисляем каждый из полученных интегралов методом замены
переменной:
.8
3
2
8
,1
3
2
2/13
1
3
1
3
1
1
1
3
3
2
3
2/1
2
1
3
3
2
Cy
y
dyy
CxC
t
dtt
t
dt
xt
x
dxx

Общий интеграл дифференциального уравнения есть: Cx
3
1
3
2
3
8
3
2
y , где
C – произвольная постоянная. Сокращая обе части уравнения на (–2/3) и заменяя число C
на другую константу
CC
2
3
1
, получаем:
3
1
3
81 yCx .
Замечание: решением уравнения является также 2
y , которое не входит в общий
интеграл и которое мы потеряли, производя деление на
3
8 y . Это решение является
особым.
6.1.3. Однородные уравнения первого порядка
Признак. Однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка имеет вид
x
y
fy
или 0),(),(
dyyxQdxyxP , где ),( yxP и ),( yxQ – однородные функции от
x
и
y
одного
порядка. Последнее означает, что для любых
x
,
y
,
),(),(),,(),( yxQyxQyxPyxP
nn
, где n – некоторое число.
Метод решения. Подстановка uxuyxxuy
),(, где )(xu – новая функция
переменной
x
. Подстановка приводит однородное уравнение к уравнению с
разделяющимися переменными
uufux
)( или ),1(/),1( uQuPuux
.
Замечание. Уравнение вида
111
cybxa
cbyax
f
dx
dy
приводится к однородному
,
1111
11
1
1
ybxa
byax
f
dx
dy
то есть
1111
11
1
1
/
/
xyba
xbya
f
dx
dy
с помощью замены
kyyhxx
11
, , если 0
11
baab . Постоянные kh, определяются из системы
уравнений 0,0
111
ckbhacbkah . Если же 0
11
baab
(то есть
b
b
a
a
11
), то
его можно привести к виду
1
)( cbyax
cbyax
f
dx
dy
.

Страницы