Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 157 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

157
Пусть дана задача Коши, и в области D выполняются условия теоремы 6.1.1. Общим
решением д. у.
),( yxfy
называется функция ),( Cxy
, зависящая от переменной
x
и
константы
C , удовлетворяющая условиям:
1.
При любом значении
C
функция ),( Cxy
является решением уравнения.
2.
При любом начальном условии
00
)( yxy
, таком, что DyxM );(
000
, найдется
значение константы
C
, при котором функция ),( Cxy
будет удовлетворять данному
условию.
Частным решением д. у. называется решение, полученное из общего при каком-либо
фиксированном значении константы
C . Общим интегралом д. у. называется уравнение вида
0),,(
Cyx , неявно определяющее общее решение д. у. Решение )(xy
д. у. называется
особым, если в каждой точке его графика нарушается свойство единственности, т. е. если
через каждую точку );(
000
yxM , кроме интегральной кривой этого решения, проходит также
интегральная кривая другого решения д. у.
Пример 6.1.5. Доказать, что функция 27/)(
3
Cxy является общим решением д. у.
3
2
yy
в области D : 0y .
Решение. Находим производную: 9/)()(3
27
1
22
CxCxy
и подставляем y и y
в уравнение:

3
2
32
27/)(9/)( CxCx – получили верное равенство. Пусть дано условие
00
)( yxy , где 0
0
y . Тогда 27/)(
3
00
Cxy ,
0
3
1
0
3 xyC . Это означает, что при данном
значении С функция 27/)(
3
Cxy удовлетворяет условию
00
)( yxy . Значит,
y
есть
общее решение.
Заметим, что функция 0
y также является решением д. у., это проверяется
непосредственно. Пусть начальное условие имеет вид 0)(
0
xy . Тогда этому условию будут
удовлетворять два решения:0
y и 27/)(
3
0
Cxy , где
00
xC
. Поэтому решение 0
y
есть особое решение дифференциального уравнения.
6.1.2. Уравнения с разделяющимися переменными
Признак. Дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися
переменными имеет вид
)()(/ yQxPdxdy
или 0)()()()(
2211
dyyQxPdxyQxP , где
2211
,,,,, QPQPQP
– некоторые функции.
Метод решения. Следует разделить переменные, то есть привести уравнение к виду
dxxP
yQ
dy
)(
)(
или
dx
xP
xP
dy
yQ
yQ
)(
)(
)(
)(
2
1
1
2
и проинтегрировать обе части уравнения по
соответствующей переменной.
Пример 6.1.6. Найти общий интеграл уравнения: yxyyx
3232
18.
Решение. Производную y
представим по формуле
dx
dy
y
как отношение двух
дифференциалов. Уравнение принимает вид
dx
dy
xyyx
3232
18 . Разделяем в
уравнении переменные (т. е. все множители, содержащие
y
, переносим в правую часть

Страницы