Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 156 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

156
ГЛАВА 6. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
6.1. Дифференциальные уравнения первого порядка
6.1.1. Основные понятия
Дифференциальным уравнением (д. у.) называется уравнение, связывающее
независимую переменную
x
, функцию )(xyy
переменной
x
и ее производные
)(
,...,
n
yyy
: 0),...,,,,(
)(
n
yyyyxF . Наивысший порядок производной, входящей в
уравнение, называется порядком д. у. Решением д. у. на интервале );( ba называется функция
)(xy
такая, что подстановка ее в д. у. превращает это уравнение в тождество по
x
на
);( ba . График решения д. у. называется интегральной кривой этого уравнения.
Пример 6.1.1. Уравнение yxxy
' имеет порядок n = 1. Функция xxy ln является
решением уравнения. Действительно, 1ln'
xy ; подставляя в уравнение, получим
xxxxx ln)1(ln
– тождество. Легко убедиться в том, что функция xxxy ln также
является решением.
Пример 6.1.2. Уравнение 0''
yy является д. у. второго порядка. Функция
x
y
cos
является решением. Действительно, xy sin'
, xy cos''
; подставляя в уравнение,
получаем тождество:
0coscos xx . Функция xy sin
также является решением, а также
функции
xxy cossin , xy sin2 , xy cos3
, xy cos5
.
Рассмотренные примеры показывают, что д. у. может иметь несколько решений.
Рассмотрим д. у. 1-го порядка, разрешенное относительно производной:
),( yxfy
,
где ),( yxf – некоторая функция двух переменных. Пусть даны числа
00
, yx .
Задача Коши для д. у. 1-го порядка формулируется следующим образом: найти
решение д. у. ),( yxfy
, удовлетворяющее начальному условию
00
)( yxy . Геометрически
это означает, что требуется найти интегральную кривую, проходящую через точку
),(
000
yxM на плоскости xOy .
Пример 6.1.3. Дана задача Коши:
2
' xyy ,
1)0(
y
. В этом случае
2
),( xyyxf ,
0
0
x , 1
0
y , )1;0(
0
M .
Теорема 6.1.1. Пусть дано д. у. ),( yxfy
, где функция ),( yxf определена в
некоторой области
D плоскости xOy , содержащей точку ),(
000
yxM . Пусть выполняются
условия:
1.
),( yxf есть непрерывная функция двух переменных в области D ;
2.
),( yxf имеет частную производную ),( yxf
y
, ограниченную в D .
Тогда найдется интервал );(
00
hxhx
, на котором существует единственное решение
данного уравнения, удовлетворяющее условию
00
)( yxy
.
Пример 6.1.4. Рассмотрим задачу Коши: 1)0(,
3
2
yyy . Здесь
3
2
),( yyxf
–
непрерывная функция на всей плоскости xOy ;
3
1
3
2
),(
yyxf
y
. По условию, 1,0
00
yx .
В окрестности точки )1;0(
0
M частная производная ),( yxf
y
ограничена, значит, все условия
теоремы 6.1.1 выполняются. Задача Коши имеет единственное решение. Заметим, что
),( yxf
y
обращается в бесконечность при 0
y , т. е. на оси
Ox
, поэтому в точках оси
Ox
возможно нарушение единственности.

Страницы