Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 159 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

159
Последнее уравнение с помощью введения новой функции )()( xbyaxxz
приводится
к уравнению с разделяющимися переменными
1
cz
cz
bfaz
.
Пример 6.1.7. Найти общий интеграл уравнения
x
y
xyyx
2
cos
.
Решение. Разделим обе части уравнения на
x
: )/(cos/
2
xyxyy
. Правая часть
уравнения зависит от xy /, поэтому уравнение является однородным. Сделаем замену
)()(),( xuxuxyxxuy
. Получим uuuxu
2
cos
или uxu
2
cos
. Разделим
переменные:
xdxudu /cos/
2
; интегрированием находим
Cxtgu ln
, где C –
произвольная постоянная интегрирования. Общий интеграл исходного уравнения:
Cxxytg ln)/( . В процессе решения мы делили на
u
2
cos
, что могло привести к потере
решения. Положим
0cos u , тогда Z
nnxy ,
2
. Эти функции также являются
решениями исходного уравнения.
Пример 6.1.8. Найти общий интеграл уравнения
2
12
yx
xy
y .
Решение. Это уравнение, приводящееся к однородному.
Сделаем замену kyyhxx
11
,. Тогда уравнение примет вид
)2()(
)12()2(
11
11
1
1
khyx
hkxy
dx
dy
.
Выбирая 02,012 khhk , т. е. 3,1 kh , и поделив числитель и
знаменатель дроби на
1
x , получим однородное уравнение

111111
/1/2// xyxydxdy
,
которое заменой
)(
111
xuxy приводится к уравнению с разделяющимися переменными:

uuudxdux
1/2/
11
.
Разделяя переменные и интегрируя, имеем
1
1
2
2
1
x
dx
du
u
u
,

,
22
1
1
1
22
x
dx
du
u
u
u
,2
2
1
2
2
22
1
1
2
CInxInuIn
u
u
In
,222222
2
2
11
CInxInuInuIn
u
u
In
,22221(2)21(
11
CInxInuInuIn
.)2/()2(
22
1
2121
xCuu

Страницы