Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 161 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

161
Откуда находим

CxUxxU
22
1ln,1/2. Следовательно, общее решение
уравнения имеет вид
xCxy ln1ln
2
. Для отыскания частного решения,
удовлетворяющего условию 0)(
ey , положим 0, yex . Получим:
Ce
2
1ln0,
откуда
2
1ln eC .
Таким образом, решение задачи Коши имеет вид
x
e
x
y ln
1
1
ln
2
2
.
Пример 6.1.10. Решить задачу Коши

.1)0(,0ln2 yydxdyxyyy
Решение. Уравнение можно привести к уравнениям вида
.
ln2
,
ln2 y
xyyy
dy
dx
xyyy
y
dx
dy
Первое уравнение для функции )(xyy
нелинейное, второе после элементарных
преобразований приводится к виду
.ln21
1
yx
ydy
dx
(6.3)
Последнее уравнение является линейным относительно функции )( yxx
(считаем
искомой функцией
x
, а аргументом
y
). Представляем
x
в виде )()( yVyUx
и подставляем
в (6.3):
.ln21/ yUyVVUV
Функции U и V находим из системы .ln21,0 yUV
y
V
V
Из первого уравнения
имеем:
;/,lnlnln, yCVCyV
y
dy
V
dV
второе уравнение системы при 1
C дает:
.ln21
1
yUy
Отсюда

CyydyyyyU lnln2
2
. Тогда общее решение имеет вид
yCyyx /ln . Подставляя в это выражение значения ,1,0 yx находим 0C . Задача
Коши имеет решение:
yyx ln
.
Признак. Уравнение Бернулли имеет вид
yxQyxPy )()(
, где
– вещественное
число, 1,0
.
Метод решения: Замена
1
)( yxz , переводящая уравнение Бернулли в линейное
уравнение

)(1)()1( xQzxPz
.
Пример 6.1.11. Найти решение задачи Коши:
1)0(,coscos
2
yxyxyy .

Страницы