Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 182 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

182
6.8.2. Задачи
Образцы решения задач
Задача 1.
Найти общий интеграл уравнения 0cossin'
xyxy .
Решение. Дано уравнение с разделяющимися переменными. Заменяем у' по формуле
dx
dy
y
'
и разделяем переменные:
xyx
dx
dy
cossin , dxxyxdy
cossin , dx
x
x
y
dy
sin
cos
(таким образом, левая часть уравнения зависит только от у, а правая зависит только от х).
Интегрируем:

dx
x
x
y
dy
sin
cos
; y
y
dy
ln
,

xCCx
x
xd
dx
x
x
sinlnlnsinln
sin
sin
sin
cos
;
получаем общий интеграл
xCy sinlnln
. Выражая у, находим общее решение xCy sin
,
где С – произвольная константа. В процессе решения мы делили на у, поэтому могли
потерять решение у = 0 (это легко проверить, подставляя у = 0 в исходное уравнение).
Однако решение у = 0 входит в общее решение при С = 0.
Задача 2. Найти решение задачи Коши
2
22'
x
xexyy
, у(0) = 2.
Решение. Дано линейное уравнение 1-го порядка. Решение уравнения ищем в виде
VUy , где )(xUU , )(xVV – некоторые функции. Находим производную
'')'(' UVVUUVy и подставляем у, у' в исходное уравнение:
2
22)''(
x
xexUVUVVU
, или
2
2)2'('
x
xexVVUVU
. Приравнивая к нулю
выражение в скобках, получаем два уравнения:
02'
xVV , (6.30)
2
2'
x
xeVU
. (6.31)
Уравнение (6.30) – это уравнение с разделяющимися переменными. Подставляя в (6.30)
dx
dV
V
' и разделяя переменные, получаем
02 xV
dx
dV
, xV
dx
dV
2 , xdx
V
dV
2 .
Интегрируем:

xdx
V
dV
2, CxV
2
ln . Положим С = 0 и найдем
2
x
eV
.
Подставляя полученное значение V в уравнение (6.31), находим U:
22
2'
xx
xeeU
,
xU 2'
,
CxxdxU
2
2. В итоге общее решение задачи есть
2
)(
2 x
eCxUVy
, где С –
произвольное число. Потребуем, чтобы функция y удовлетворяла начальному условию
y (0) = 2. Подставим в уравнение
2
)(
2 x
eCxy
значения х = 0, у = 2: 2 = (0+С)е
0
, или
2 = С. Значит, решение задачи Коши получается из общего решения при С = 2:
2
)2(
2 x
exy
.

Страницы