Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 183 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

183
Задача 3. Решить уравнение 0cos)cos(sin
2
xydyxdxxyxyxy .
Решение. Проверим, что данное уравнение является уравнением в полных
дифференциалах. Обозначим
xyxyxyyxM cossin),(
, xyxyxN cos),(
2
и найдем
частные производные:
xyyxxyxxyyxxyxxyx
y
M
sincos2sincoscos
22
,
xyyxxyx
x
N
sincos2
2
,
так что
x
N
y
M
при любых значениях х и у. Значит, условие (6.4) выполняется. Таким
образом, данное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах и согласно (6.5),
xyxyxyyxM
x
yxF
cossin),(
),(
, (6.32)
xyxyxN
y
yxF
cos),(
),(
2
. (6.33)
Из соотношения (6.32) находим интегрированием по переменной х (у принимается за
константу):
)(sin)cos(sin),( yxyxdxxyxyxyyxF
,
где φ(у) – пока неопределенная функция. Подставляя F(x,y) в уравнение (6.33), получаем:

xyxyxyx
y
cos)(sin
2
,
откуда xyxyxyx cos)('cos
22
,
0)('
y
, так что
сonstCy
)(
. Таким образом,
CxyxyxF sin),(
. Общий интеграл исходного уравнения есть:
0sin Cxyx
.
Задача 4.1. Найти общее решение однородного уравнения
054
yyy
.
Решение. Характеристическое уравнение 054
23
KKK имеет три простых корня:
iKiKK 2,2,0
321
. Значит,
xeCxeCCyy
xx
sincos
2
3
2
21.0.0
.
Задача 4.2. Найти общее решение линейного однородного уравнения
044
)4(
yyy .
Решение. Характеристическое уравнение
044
24
KK
имеет корни 2
2,1
iK
кратности 2. Следовательно, общее решение уравнения
xxCxCxxCxCyy 2sin2sin2cos2cos
4321.0.0
.
Задача 4.3. Найти общее решение дифференциального уравнения:
265
2
xxyyy .

Страницы