Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 184 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

184
Решение. Характеристическое уравнение 065
2
KK имеет корни кратности 1:
3,2
21
KK . Значит,
xx
eCeCy
3
2
2
1.0.0
. Так как 0
i не совпадает с корнями,
частное решение следует искать в виде
y
ч.н.
CBxAx
2
. Подставляя
y
ч.н.
в исходное
уравнение, получаем тождество:

26252
22
xxCBxAxBAxA .
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях
x
в левой и правой частях
тождества: 16:;1610:
2
AxBAx ; свободные члены: 2652
CBA .
Решая систему, находим:
27
10
9
1
,
6
1
CBA
. Значит,
y
ч.н.
27
10
9
1
6
1
2
xx
; общее
решение уравнения имеет вид yyy
.0.0
ч.н.
27
10
9
1
6
1
23
2
2
1
xxeCeC
xx
.
Задача 4.4. Найти общее решение уравнения:
xxyyy 61865
2
.
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид: 065
23
KKK , или
065
2
KKK ; его корни
3,2,0
321
KKK
(все корни простые). Тогда
xxxxx
eCeCCeCeCeCy
3
3
2
21
3
3
2
2
0
1.0.0
.
Так как среди корней характеристического уравнения есть корень
0K , совпадающий
с числом 000
ii
, то
y
ч.н.
CxBxAxCBxAxx
232
.
Подставляя y
ч.н.
в исходное уравнение, получаем

xxCBxAxBAxA 6182362656
22
.
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях
x
:
06106,61230,1818 CBABAA .
Решая систему, находим: 4,3,1 CBA , тогда
y
ч.н.
xxx 43
23
,
и общее
решение имеет вид xxxeCeCCy
xx
43
233
3
2
21
.
Задача 4.5. Найти общее решение уравнения
2)2()3()4(
65 xyyy .
Решение. Имеем: 065
234
KKK , или
065
22
KKK . Корни: 0
1
K
(кратности 2),
2
2
K
и 3
3
K (простые). Получаем
xx
eCeCxCCy
3
4
2
321.0.0
. Так как
0
i
является корнем кратности 2 характеристического уравнения, то
y
ч.н.
CBxAxx
22
. Далее решение строится как в предыдущей задаче.
Находим:
y
ч.н
=,
234
CxBxAx
y
ч.н
=,234
23
CxBxAx
y
ч.н
=,2612
2
CBxAx
y
ч.н
=,624 BAx
)4(
y
ч.н
= A24 . Подставляя функцию y
ч.н.
и ее производные в исходное
уравнение, получаем тождество:

22
26126624524 xCBxAxBAxA .

Страницы