Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 186 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

186
Задача 5. Найти общее решение линейной неоднородной системы д. у. 2-го порядка
методом исключения неизвестных:
tyxy
' , tyxx 243'
. (6.34)
Решение. Здесь t – независимая переменная, х = x(t), y = y(t) – неизвестные функции.
Из первого уравнения системы (6.34) выражаем tyyx
' и находим производную
1''')''('
yytyyx . Подставляем х и х' во второе уравнение (6.34):
1''' yy
tytyy 24)'(3
. Приводя подобные слагаемые, получаем уравнение относительно
функции у: 15'2''
tyyy . Общее решение этого уравнения 95)(
21
tetCCy
t
(
t
oo
etCCy
)(
21..
, 95
..
ty
нч
,
.... нчoo
yyy
). Находим
ttteCeCetCCeCtyyx
tttt
)95()5)(('
21212
tt
eCCteC )2(2
122
.146 t
Общее решение системы есть:
95)(
21
tetCCy
t
, 146)22(
212
tetCCCx
t
.
Задача 6.1. Найти общее решение системы д. у. 2-го порядка методом Эйлера:
yxx
' , yxy 42'
.
Решение. Согласно методу Эйлера составляем характеристическое уравнение:
652)4)(1(
42
11
0
2
rrrr
r
r
.
Корни уравнения Δ = 0 есть r
1
= 2, r
2
= 3. Система (6.26) имеет вид: 0)1(
r ,
0)4(2
r , причем второе уравнение лишнее. Имеем:
)1( r . Полагая
2,1
11
rr
, получаем 1
1
. Полагая 3,1
22
rr
, получаем 2
2
.
Подставляя найденные значения в (6.29), находим общее решение системы:
tttt
eCeCyeCeCx
3
2
2
1
3
2
2
1
2, .
Задача 6.2. Решить линейную однородную систему д. у. методом Эйлера:
yxyyxx 4',2'
.
Решение. Составляем характеристическое уравнение:
961)4)(2(
41
12
0
2
rrrr
r
r
.
Его корень
3
21
rrr (кратный корень). Решение системы ищем в виде
tt
etyetx
3
22
3
11
)(,)(
. Подставляя х, у в первое уравнение системы получаем:
tttt
etetete
3
22
3
11
3
11
3
1
)()(2)(3
,
)()(2)(3
2211111
ttt
,
tt )2(233
2121111
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t слева и справа, имеем:
2111
23
,
211
23
, откуда
112
,
12
. Обозначая
2111
, СС
,
получаем общее решение системы
tt
etCCCyetCCx
3
221
3
21
)(,)( .

Страницы