Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 185 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

185
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях
x
, получаем систему линейных
уравнений относительно неизвестных А, В, С:
0254
0310
172
0123024
,036120
,172
1
2
CBA
BA
A
CBA
BA
A
x
x
.
Решая систему, находим:
216
19
,
108
5
,
72
1
CBA , y
ч.н.
=
234
216
19
108
5
72
1
xxx
.
Общее решение уравнения есть
2343
4
2
321
216
19
108
5
72
1
xxxeCeCxCCy
xx
.
Задача 4.6. Найти общее решение уравнения
x
xeyyy
23.
Решение. Характеристическое уравнение 023
2
KK имеет простые корни 1
1
K и
2
2
K . Значит,
xx
eCeCy
2
21.0.0
. Переходим к отысканию
y
ч.н.
. Правая часть уравнения
имеет вид
x
xexf )(. Здесь 1,0,1 s
. Число 1
i является корнем кратности
1 характеристического уравнения, значит
k
=1,
y
ч.н.
x
xeBAx
.
Подставив
y
ч.н.
и ее производные в исходное уравнение, получим
xxxx
xeBxAxeBBxAxAxeBABxAxAxe
222
223224.
Сокращаем на
x
e и приводим подобные члены: xBAAx
22 .
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях
x
в левой и правой частях
тождества, находим:
1,5,0 BA
.
Имеем
y
ч.н.
x
ex
x
2
2
.
Общее решение уравнения имеет вид
yyy
.0.0
ч.н.
xxx
ex
x
eCeC
2
2
2
21
.
Задача 4.7. Найти общее решение уравнения
.162cos1752
x
exyyy
Решение. ,2,1,2141,052
2,1
2
iKKK

xCxCey
x
2sin2cos
21.0.0
. Так как правая часть уравнения – сумма слагаемых вида
(6.16), то согласно замечанию 2 пункта 6.3.2 частное решение ищем в виде суммы
y
ч.н.
.2sin2cos
x
СexBxA
Подставляя
y
ч.н.
в исходное уравнение, получаем тождество

.0162cos172sin2cos5
2cos22sin222sin42cos4
xx
xx
exCexBxA
CexBxACexBxA
Приравнивая к нулю суммарные коэффициенты при
x2cos , x2sin и e
x
,
получаем
0544:2sin;17544:2cos
BABxABAx ; e
x
: .1652 CCC
Решая систему, находим: 4,1 BA , С = 2, тогда y
ч.н.
x
exx 22sin42cos
. Для общего
решения получаем выражение
xxx
exxxeCxeCy 22sin42cos2sin2cos
21
.

Страницы