Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 191 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

191
расположенных уравнениях с помощью ведущего уравнения исключаем
i
x . После n–1 шага
таких преобразований исходная система (1.1) будет приведена к следующему виду:
.
......................................
,...
,...
,...
)(
n
)(
)3(
3
n
)3(
3
3
)3(
33
)2(
2
n
)2(
2
3
)2(
23
2
)2(
22
)1(
1
n
)1(
1
3
)1(
13
2
)1(
12
1
)1(
11
n
n
n
nn
n
n
n
bxa
bxaxa
bxaxaxa
bxaxaxaxa
(7.3)
Преобразованной СЛАУ (7.3) соответствует треугольная расширенная матрица
)()(
)3()3(
3
)3(
33
)2(
)2(
2
)2(
23
)2(
22
)1(
)1(
1
)1(
13
)1(
12
)1(
11
|....000
............................
|....00
|....0
|....
n
n
n
nn
n
n
n
n
n
n
ba
baa
baaa
baaaa
A
.
Исключение одного неизвестного
k
x (k = 1, 2,…, n) вышеуказанным способом
называется циклом процесса. Выполнение всех циклов, в результате которых получается
система (7.3), называется прямым ходом метода Гаусса.
Запишем расчетные формулы процесса исключения неизвестного
k
x на k-м цикле.
Пусть уже исключены
11
,...,
k
xx , т. е. получены элементы, равные 0 ниже главной диагонали
в первых (k–1)-м столбцах расширенной матрицы системы
A . Тогда остались такие
уравнения с отличными от нуля элементами ниже главной диагонали:
....
.................................................................
,...
,...
)(
n
)(
1
)(
1
)(
)(
1
n
)(
1
1
)(
11
)(
1
)(
n
)(
1
)(
1
)(
k
n
k
nnk
k
nk
k
k
nk
k
k
k
nk
k
k
kk
k
k
kk
k
k
k
kn
k
k
kk
k
k
kk
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
(7.4)
Для исключения неизвестной
k
x переставим уравнения подсистемы (7.4) так, чтобы
верхнее уравнение имело самый большой по модулю коэффициент перед
k
x , т. е. выберем
ведущее уравнение. Это необходимо для уменьшения вычислительной погрешности.
Пусть
)(k
kk
a
– коэффициент с наибольшей абсолютной величиной среди коэффициентов,
стоящих перед неизвестной
k
x во всех уравнениях системы (7.4). С помощью первого
уравнения системы (7.4) исключим неизвестное
k
x из остальных уравнений. Для этого k-ое
уравнение умножим на число
)(
)(
k
kk
k
mk
mk
a
a
C
(7.5)
и вычтем из m-го уравнения (m = k + 1,…, n). Тогда коэффициент при
k
x m-го уравнения
обратится в 0, а остальные получатся по следующим формулам:
.,...,2,1,
,,...,2,1,
)()()1(
)()()1(
nkklbCbb
nkkmaCaa
k
k
mk
k
m
k
m
k
kl
mk
k
ml
k
ml
(7.6)
Вычисления выполняются последовательно для всех указанных индексов. После их
окончания
k
x окажется исключенным из k+1, k+2,…, n-го уравнений. На этом очередной

Страницы