Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 192 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

192
цикл исключения заканчивается. Процесс продолжается дальше аналогично до завершения
прямого хода.
В результате выполнения прямого хода метода Гаусса в случае определенной системы в
последнем уравнении системы (7.3) остается одно неизвестное
n
x , в предпоследнем – два:
n
x и
1n
x и т. д. Это позволяет из последнего уравнения найти
n
x , затем, подставив его в
предпоследнее, найти
1n
x , и т. д. Этот этап задачи, состоящий в нахождении
1
,..., xx
n
из
преобразованной системы (7.3), получил название обратного хода метода Гаусса.
Замечание 1. Метод Гаусса относится к точным методам решения рассматриваемых
систем. Это значит, что при выполнении всех операций без округлений получится точное
решение системы. Так как на практике все вычисления ведутся обычно с округлением, то
значения неизвестных неизбежно будут содержать погрешности. Если
матрица системы
хорошо обусловлена (матрица A плохо обусловлена, если малые изменения ее элементов
приводят к существенным изменениям элементов обратной матрицы
1
A
), то оценить
погрешность решения можно с помощью вычисления невязок, представляющих собой
модули разностей между правыми и левыми частями уравнений системы (7.1):
....
...................................................
,...
,...
n
)1(
2
)1(
2
1
)1(
1
)1(
n
)1(
2
2
)1(
22
1
)1(
21
)1(
2
2
n
)1(
1
2
)1(
12
1
)1(
11
)1(
1
1
xaxaxabr
xaxaxabr
xaxaxabr
nn
nn
nn
n
n
Если невязки малы по модулю, то решение системы найдено достаточно точно.
Замечание 2. Технически решение системы (7.1) методом Гаусса удобнее вести,
применяя к расширенной матрице системы
A элементарные преобразования строк:
1) перестановка двух строк местами;
2) умножение строки на действительное число, отличное от нуля;
3) сложение двух строк.
Применяя конечное число этих преобразований, получим расширенную матрицу
эквивалентной системы, имеющей то же самое решение. При этом этапы выполнения
прямого хода обычно оформляются в виде специального расчетного бланка, как это будет
показано в примере (
табл. 7.2). Для контроля правильности выполнения текущих
вычислений в бланк вводится дополнительный столбец, обозначенный
(i)
m
a
5
. На начальном
этапе заполнения бланка первые элементы этого столбца получаются суммированием других
элементов строк матрицы
A . Остальные элементы контрольного столбца вычисляются
аналогично другим элементам по формулам (7.6) в каждом цикле. Если в текущем цикле все
вычисления были выполнены правильно, то сумма элементов каждой строки (кроме
последнего) должна быть равна последнему элементу
(i)
m
a
5
. Возможно расхождение между
суммой и элементом
(i)
m
a
5
в последнем знаке из-за ошибок округления.
7.1.2. Задание на лабораторную работу
1. Найти методом Гаусса с выбором ведущего элемента решение системы линейных
уравнений:
.45,1528,204,8)21,7(77,3
,21,1246,2)78,7(45,892,3
,35,899,669,1)65,3(21,8
,65,1090,110,4)62,2(30,8
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx

Страницы