Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 190 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

190
7.1. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
7.1.1. Постановка задачи
Пусть задана система n линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с n неизвестными
n
xxx ,...,,
21
:
,...
...................................................
,...
,...
)1(
n
)1(
2
)1(
2
1
)1(
1
)1(
2
n
)1(
2
2
)1(
22
1
)1(
21
)1(
1
n
)1(
1
2
)1(
12
1
)1(
11
nnn
nn
n
n
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
(7.1)
или в матричной форме:
B
X
A , где
)1(
)1(
2
)1(
1
)1(
2
)1(
22
)1(
21
)1(
1
)1(
12
)1(
11
....
................
....
....
nn
nn
n
n
aaa
aaa
aaa
A – основная матрица системы,
)1(
)1(
2
)1(
1
....
n
b
b
b
B – столбец свободных
элементов,
n
x
x
x
X
....
2
1
– столбец неизвестных.
Решением системы (7.1) называется совокупность значений неизвестных
n
xxx ,...,,
21
,
удовлетворяющая одновременно каждому уравнению из системы (7.1). Система решена
полностью, если все решения найдены.
Теорема Кронекера-Капелли: Для того, чтобы система (7.1) была совместна (имела
хотя бы одно решение), необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы A и ранг
расширенной матрицы системы (основная матрица системы с добавлением справа столбца
свободных элементов)
)1(
)1(
2
)1(
1
)1()1(
2
)1(
1
)1(
2
)1(
22
)1(
21
)1(
1
)1(
12
)1(
11
....
|
|
|
|
....
................
....
....
n
nn
nn
n
n
b
b
b
aaa
aaa
aaa
A
(7.2)
были равны:
rA rang rang A .
При этом, если ранг равен числу неизвестных
n
r
, то система (7.1) имеет
единственное решение, т. е. определена. Если
n
r
, то система (7.1) имеет бесконечное
множество решений, зависящих от (n–r) произвольных параметров, т. е. неопределена.
Существует много методов решения таких систем [6]–[8]. В данной лабораторной
работе будем решать ее методом Гаусса с частичным выбором ведущего элемента. Суть
этого метода состоит в последовательном исключении неизвестной
1
x из 2, 3,…, n-го
уравнений,
2
x – из 3, 4,…, n-го уравнений и т. д. Для этого на каждом шаге преобразования
сначала выбираем так называемое «ведущее уравнение». На i-м шаге (т. е. при исключении
неизвестного
i
x , i=1, 2,…, n–1) в качестве ведущего уравнения нужно взять из i-го, (i+1)-
го,…, n-го уравнений то уравнение, в котором коэффициент перед
i
x имеет наибольшую
абсолютную величину. Ведущее уравнение ставим на место i-го уравнения, и во всех ниже

Страницы