Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

37
ГЛАВА 2. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
2.1. Двойной интеграл
2.1.1. Определение и условие существования двойного интеграла
Двойной интеграл представляет собой обобщение понятия определенного интеграла на
случай функций двух переменных. Пусть D – ограниченная замкнутая область, а
),( yxfz – функция, определенная и ограниченная в этой области.
Разобьем область D произвольно на n частей
i
D , не имеющих общих внутренних
точек, с площадями
i
S (i = 1,2,…, n). В каждой части
i
D выберем произвольную точку
),(
iii
yxM и составим сумму
ii
n
i
i
Syxf
),(
1
, (2.1)
которая называется интегральной суммой для функции ),( yxf в области D . Назовем
диаметром )(Dd области D наибольшее расстояние между граничными точками этой
области. Обозначим через
наибольший из диаметров частичных
областей

.)(max
1
i
ni
i
DdD
Определение 2.1.1. Если при 0
интегральная сумма (2.1) имеет предел, который
не зависит ни от способа разбиения области D на части, ни от выбора точек
i
M , то этот
предел называется двойным интегралом от функции
),( yxf по области D и обозначается
одним из символов:

D
dSyxf ),(
или

D
dxdyyxf ),(
.
В этом случае функция ),( yxf называется интегрируемой в области D .
Таким образом, по определению
i
n
i
ii
D
SyxfdSyxf

),(lim),(
1
0
.
Переменные
y
x
, называют переменными интегрирования, D – областью интегрирования,
),(
yxf – подынтегральной функцией, dSyxf ),( – подынтегральным выражением,
dS
(или
dxdy ) – элементом площади.
При определении двойного интеграла предполагалось, что функция ),(
yxf ограничена
в области
D . Как и для функций одной переменной, ограниченность функции является
необходимым условием ее интегрируемости. Однако оно не является достаточным, так как
существуют ограниченные, но не интегрируемые функции. Приведем без доказательства
достаточное условие интегрируемости функции двух переменных.
Теорема 2.1.1. Если функция ),( yxfz
непрерывна в ограниченной замкнутой
области
D , то она интегрируема в этой области, т. е. существует двойной интеграл
i
n
i
ii
D
SyxfdSyxf

),(lim),(
1
0
.

Страницы