ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
39
2.1.3. Свойства двойного интеграла
Основные свойства двойного интеграла аналогичны соответствующим свойствам
определенного интеграла. Поэтому ограничимся формулировкой этих свойств, не
останавливаясь на их доказательствах.
1.
Постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла:
DD
dSyxfAdSyxAf ),(),( , A = const.
2. Двойной интеграл от суммы (разности) двух функций равен сумме (разности)
двойных интегралов:
DDD
dSyxgdSyxfdSyxgyxf ),(),(),(),( .
3. Если область
D
является объединением областей
1
D и
2
D , не имеющих общих
внутренних точек, то
21
),(),(),(
DDD
dSyxfdSyxfdSyxf .
4. Если
),(),( yxyxf
в области
D
, то
DD
dSyxdSyxf ),(),(
,
т. е. неравенства можно интегрировать.
В частности, если 0),( yxf , то
0),(
D
dSyxf .
5.
Если Myxfm ),( в области D , то
D
SMdSyxfSm ),( ,
где S – площадь области
D
.
6.
Теорема о среднем. Если функция ),( yxf непрерывна в области D , то в этой
области найдется точка ),(
000
yxM такая, что
SyxfdSyxf
D
),(),(
00
. (2.3)
Свойство 6 имеет следующую геометрическую интерпретацию: если 0),( yxf в
области D , то объем соответствующего цилиндрического тела (левая часть формулы (2.3))
равен объему цилиндра с тем же основанием и высотой ),(
00
yxf , равной значению функции
),( yxf в некоторой точке ),(
000
yxM области D . Значение функции ),(
00
yxf ,
определяемое формулой (2.3), называется средним значением функции ),( yxf в области D .
7.
Абсолютная величина двойного интеграла не превосходит двойного интеграла от
абсолютной величины подынтегральной функции:
dSyxfdSyxf
DD
),(),( .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 37
- 38
- 39
- 40
- 41
- …
- следующая ›
- последняя »
