ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
40
2.1.4. Вычисление двойного интеграла
Пусть функция
),( yxf интегрируема в области D (рис. 2.2), которая ограничена
линиями
)(
1
xy
,
)(
2
xy
, a
x
, bx
, причем на отрезке [a, b] функции
)(
1
x
и
)(
2
x
непрерывны и
)()(
21
xx
.
Если
),( yxf при любом
bax ,
интегрируема по переменной y на отрезке
)(),(
21
xx
, т. е. существует определенный интеграл
)(
)(
2
1
,,),()(
x
x
baxdyyxfxS
,
то справедлива формула
D
b
a
x
x
dyyxfdxdxdyyxf
)(
)(
2
1
),(),(
. (2.4)
Интеграл в правой части равенства (2.4) называется повторным интегралом. Сначала
вычисляется внутренний интеграл (выполняется интегрирование по y при фиксированном x),
а затем – внешний (полученный результат интегрируется по x).
Рис. 2.2 Рис. 2.3
Если область D ограничена линиями
)(
1
yx
, )(
2
yx
, c
y
, dy , причем на
отрезке
dc, функции )(
1
y
и )(
2
y
непрерывны и )()(
21
yy
(рис. 2.3), то по аналогии
с формулой (2.4) имеем
D
d
c
y
y
dxyxfdydxdyyxf
)(
)(
2
1
),(),(
, (2.5)
где интегрирование сначала выполняются по x при фиксированном y, а затем полученный
результат интегрируется по y.
Если область интегрирования
D не удовлетворяет указанным выше условиям
(рис. 2.4), ее необходимо разбить на части
n
DDD ,...,,
21
, которые допускают применение
формул (2.4), (2.5), при этом
DDD D
n
dxdyyxfdxdyyxfdxdyyxfdxdyyxf
12
),(...),(),(),(.
x
a
b
)(
2
xy
О
y
D
y =
1
(x)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- …
- следующая ›
- последняя »
