ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
41
y
z
x
y =
f
1
( x )
0
a
x
b
S ( x )
y =
f
2
( x )
z = f ( x , y )
D
y = φ
2
(x)
y = φ
1
(x)
Рис. 2.4 Рис. 2.5
Установим справедливость формулы (2.4), предполагая дополнительно, что
0),( yxf
в области
D . В этом случае двойной интеграл в левой части равенства (2.4) есть объем V
цилиндрического тела (рис. 2.5), т. е.
D
dxdyyxfV ),( . (2.6)
Проведем плоскость x = const ( bxa
), рассекающую рассматриваемое тело.
В сечении получим криволинейную трапецию, ограниченную снизу отрезком
)()(
21
xyx
, а сверху – кривой ),( yxfz
, x = const. Ее площадь выразится интегралом
)(
)(
2
1
),()(
x
x
dyyxfxS
. (2.7)
Зная площади поперечных сечений, объем тела можно найти по формуле
b
a
dxxSV )(
. (2.8)
Подставляя в (2.8) выражение (2.7), получаем
.,
2
1
dyyxfdxV
b
a
y
y
(2.9)
В формулах (2.6) и (2.9) левые части равны, следовательно, равны и правые, т. е.
формула (2.4) справедлива. Аналогично доказывается формула (2.5).
Таким образом, чтобы найти двойной интеграл, надо представить его в виде
повторного, применяя формулы (2.4), (2.5); затем последовательно проинтегрировать по
каждой переменной. Выбор формулы приведения к повторному интегралу зависит как от
вида области
D , так и от вида подынтегральной функции.
Пример 2.1.1. Вычислить интеграл
D
xdxdy , где область D ограничена линиями
xy = 4, x+y = 5.
1
D
2
D
3
D
y
x
О
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
- …
- следующая ›
- последняя »
