Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

43
2.1.5. Замена переменных в двойном интеграле
Метод замены переменной является одним из основных методов вычисления
определенного интеграла. В двойном интеграле две переменных, поэтому правило их замены
более сложное.
Пусть функция
yxf , непрерывна в ограниченной замкнутой области D . Тогда для
функции

yxf , существует двойной интеграл
dxdyyxf
D

, . (2.10)
Введем новые переменные u, v c помощью формул:
vuxx ,
,
vuyy ,
. (2.11)
Предположим, что из (2.11) единственным образом определяются vu,:
,, yxuu
yxvv ,
. (2.12)
Согласно формулам (2.12) каждой точке М (x, y) из области D ставится в соответствие
некоторая точка М
*

vu,
на координатной плоскости с прямоугольными координатами u и v .
Если обозначить через D
*
множество всех точек М
*
vu, , то каждой точке М
*

vu, из D
*
будет соответствовать точка М (x, y) из D , координаты которой определяются формулами
(2.11). Таким образом, формулы (2.11) устанавливают взаимно однозначное соответствие
между точками областей
D и
*
D
. Говорят также, что преобразование координат (2.11)
является взаимно однозначным.
При сделанных предположениях можно доказать, что если функции (2.11) имеют в
области D
*
непрерывные частные производные первого порядка, то определитель


u
y
u
x
vuD
yxD
,
,
v
y
v
x
(2.13)
отличен в D
*
от нуля, и для интеграла (2.10) справедлива формула



dudv
vuD
yxD
vuyvuxfdxdyyxf
D
D
,
,
,,,,
*

. (2.14)
Определитель (2.13) называется функциональным определителем Якоби или якобианом
функций
 
vuyyvuxx ,,,
по переменным u и v .
Точнее, имеет место
Теорема 2.1.2. Если преобразование (2.11) переводит ограниченную замкнутую
область D в ограниченную замкнутую область D
*
и является взаимно однозначным и если
функции (2.11) имеют в области D
*
непрерывные частные производные первого порядка, а
функция ),( yxf непрерывна в области D, то справедлива формула замены переменных
(2.14).
Доказательство теоремы достаточно сложное и здесь не приводится.
Как и в определенном интеграле, замена переменных в двойном интеграле
производится с целью приведения его к виду, более удобному для вычисления.
Пример 2.1.3. Вычислить интеграл
,2 dydxyx
D

где D параллелограмм,
ограниченный прямыми x + y = 1, x + y = 2, 2x – y = 1, 2x – y = 3 (рис. 2.8, а).

Страницы