ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
45
Если подынтегральная функция
yxf , или уравнение границы области
интегрирования содержит сумму
22
yx , то во многих случаях замена переменных по
формулам (2.16) значительно упрощает вычисление интеграла, так как данная сумма в
полярных координатах принимает более простой вид:
22222
)sin()cos( rrryx
.
Найдем якобиан преобразования (2.16):
rr
r
r
y
x
r
y
r
x
rD
yxD
)sin(cos
cos
sin
sin
cos
),(
),(
22
.
Формула (2.14) принимает вид
*
)sin,cos(,
D
D
rdrdrrfdxdyyxf
. (2.17)
Мы получили двойной интеграл в полярных координатах (правая часть равенства (2.17)),
который вычисляется путем сведения его к повторному.
Пусть область
D ограничена лучами
1
,
2
и кривыми
)(
1
rr
,
)(
2
rr
,
причем на отрезке
21
,
функции
)(
1
r
и
)(
2
r
непрерывны и
)()(
21
rr
. Тогда имеет
место формула
)(
)(
2
1
*
2
1
)sin,cos()sin,cos(
r
r
D
rdrrrfdrdrdrrf . (2.18)
Пример 2.1.4. Вычислить интеграл dxdyyx
D
22
, где область D ограничена
линиями yyx 2
22
,
0x
, (
0x
).
Решение. Область интегрирования D – полукруг (рис. 2.9). Положим
cos
r
x
,
sinry
и применим формулу (2.17). Так как
222
ryx , то
*
222
DD
drdrdxdyyx
.
Сведем полученный интеграл к повторному,
пользуясь формулой (2.18). Уравнение окружности
yyx 2
22
преобразуется к виду:
sin2
r
, а уравнение
прямой
0x принимает вид
2
. Таким образом,
2
0
,
sin20 r
(рис. 2.9), т. е.
0
1
,
2
2
,
0)(
1
r
,
sin2)(
2
r
. Согласно формуле (2.18) имеем
2
0
2
2
0
3
2
0
sin2
0
3
sin2
0
2
2
0
2
)(cos)cos1(
3
8
sin
3
8
)
3
(
*
ddd
r
drrddrdr
D
=
3
2
0
8 cos 8 1 8 2 16
cos (1 )
3333339
.
1
y
)
sin2
(
2
22
r
yyx
D
x
Рис. 2.9
О
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 43
- 44
- 45
- 46
- 47
- …
- следующая ›
- последняя »
