ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
47
Рис. 2.11
Решение. Область D представляет собой фигуру, ограниченную слева параболой
1
2
xy , справа – прямой
xy 1
. Решая совместно уравнения параболы и прямой,
находим точки их пересечения
)1 ,0( ),2 ,3(
21
ММ
. Следовательно, искомая площадь
5,4)2(
1
2
2
1
1
1
2
2
dyyydxdydxdyS
y
y
D
.
Заметим, что если в данном примере выбрать другой порядок повторного
интегрирования (сначала по у, а затем по х), то область D предварительно пришлось бы
разбить на две части (осью Оу), так как она ограничена сверху линией, заданной на отрезках
01 х и 30 х двумя различными уравнениями. Результат получился бы тот же, но
вычисления оказались бы более громоздкими.
3.
Вычисление массы пластинки. Рассмотрим на плоскости Оху материальную
пластинку, т. е. некоторую область D, по которой распределена масса М с поверхностной
плотностью
) ,( ух
. Вычислим по заданной плотности ) ,( ух
массу М этой пластинки,
считая, что
) ,( ух
– непрерывная функция. Разобьем D произвольно на n частей
) ..., 2, ,1( niD
i
и обозначим через
i
m массы этих частей. В каждой части произвольно
выберем точку ) ,(
ii
yx . Массу
i
m каждой такой части D
i
можно считать приближенно
равной
iii
Syx ) ,(
, где
i
S – площадь D
i
, а масса М всей пластинки приближенно равна
сумме
n
i
iii
n
i
i
SyxmM
11
) ,(
,
которая является интегральной суммой для непрерывной функции ) ,( ух
в области D.
В пределе при
0
получим точное значение массы пластинки, равное двойному
интегралу от функции
) ,( ух
по области D, т. е.
D
dxdyyxM ) ,(
. (2.19)
M
2
1 2 3
y
x
x + y = 1
1
2
xy
M
1
О
D
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 45
- 46
- 47
- 48
- 49
- …
- следующая ›
- последняя »
