ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
49
Величины
D
x
D
y
dxdyyxyMdxdyyxxM ),( и ),(
в формулах (2.21) называются
статическими моментами пластинки относительно осей Оу и Ох соответственно.
Пример 2.1.9. Найти координаты центра масс однородной пластинки, ограниченной
двумя параболами yxxy
22
и (рис. 2.12).
Решение. Координаты центра масс данной пластинки найдем по формулам (2.22).
Сначала вычислим массу пластинки
3
1
2
1
0
x
x
D
dydxdxdyM .
Далее вычислим статические моменты ее относительно
осей координат:
20
3
2
1
0
x
x
D
y
dyxdxxdxdyM ,
20
3
2
1
0
x
x
D
x
ydydxydxdyM .
Подставляя найденные значения в формулы (2.22),
получаем
20
9
,
20
9
M
M
y
M
M
x
x
c
y
c
.
5. Вычисление моментов инерции пластинки. Как известно, момент инерции
материальной точки относительно некоторой оси равен произведению массы точки на
квадрат ее расстояния до этой оси, а момент инерции системы материальных точек равен
сумме моментов инерции этих точек.
Пусть область D плоскости Оху занята пластинкой, непрерывная функция ) ,( ух
–
поверхностная плотность вещества, распределенного в D. Разбив область D на части D
i
,
площади которых равны ) ..., 2, ,1( niS
i
, и выбрав в каждой из них некоторую точку
) ,(
ii
yx , заменим пластинку системой материальных точек с массами
iiii
Syxm
),(
и
координатами ) ,(
ii
yx . Момент инерции такой системы точечных масс, например,
относительно оси Оу равен
n
i
iiii
Syxx
1
2
),(
. Примем это выражение за приближенное
значение момента инерции пластинки. Но оно же представляет собой интегральную сумму
для непрерывной функции ),(
2
yxx
. Переходя к пределу при 0
, получаем для момента
инерции пластинки относительно оси Оу следующую формулу:
D
y
dxdyyxxJ ),(
2
. (2.23)
Аналогично, момент инерции пластинки относительно оси Ох будет определяться
формулой
D
x
dxdyyxyJ ),(
2
.
x
y
O
1
1
ху
2
2
ху
D
Рис. 2.12
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 47
- 48
- 49
- 50
- 51
- …
- следующая ›
- последняя »
