ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
51
Если положить 1),,(
zyxf всюду в области Т, то из определения тройного интеграла
следует формула для вычисления объема
V области Т:
TT
dxdydzdVV .
Действительно,
VVVdV
n
i
i
T
0
1
0
lim1lim
.
В дальнейшем, поскольку все результаты, полученные для двойных интегралов, могут
быть перенесены на тройные интегралы, ограничимся только формулировками утверждений
и краткими пояснениями.
Тройной интеграл обладает свойствами, аналогичными соответствующим свойствам
(п. 2.1.3) двойного интеграла. Для существования тройного интеграла (интегрируемости
функции
),,( zyxf в области Т) достаточно, чтобы подынтегральная функция ),,( zyxf была
непрерывна в области
Т.
Как и в случае двойных интегралов, вычисление тройных интегралов сводится к
вычислению интегралов меньшей кратности.
Пусть область
Т ограничена снизу и сверху поверхностями
),( и ),(
21
yxФzyxФz
, а
с боковых сторон цилиндрической поверхностью, и пусть область
D – проекция области Т на
плоскость О
ху (рис. 2.14), в которой определены и непрерывны функции ),( и ),(
21
yxФyxФ ,
причем
),( ),(
21
yxФyxФ .
Рис. 2.14
Тогда для любой функции ),,( zyxf , непрерывной в области Т, имеет место формула
),(
),(
2
1
),,(),,(
yxФ
yxФDT
dzzyxfdxdydxdydzzyxf ,
позволяющая свести вычисление тройного интеграла к последовательному вычислению
внутреннего определенного интеграла по переменной
z (при постоянных х и у) и внешнего
двойного интеграла по области
D.
Записывая двойной интеграл по области
D через один из повторных, получаем
формулу
T
yxФ
yxФ
b
a
x
x
dzzyxfdydxdxdydzzyxf
),(
),(
)(
)(
2
1
2
1
),,(),,(
, (2.25)
D
z
у
х
а
b
)(
1
xy
)(
2
xy
Т
),(
1
уxФz
),(
2
уxФz
О
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 49
- 50
- 51
- 52
- 53
- …
- следующая ›
- последняя »
