ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
48
Пример 2.1.8. Найти массу круглой пластинки радиуса R, если плотность
) ,( ух
в каждой точке
),( ухМ
пропорциональна квадрату расстояния от точки М до центра круга.
Решение. Выберем систему координат так, чтобы начало координат совпадало
с центром круга. Тогда
22
),( yxkyx
, где k – коэффициент пропорциональности.
По формуле (2.19) имеем:
D
dxdyyxkM
22
,
где областью интегрирования D является круг:
222
Ryx .
Переходя к полярным координатам, получаем
0
22 2
33 3
00 0 0
2
33 3
R
R
rkR kR
Mkd rrdrk d d
.
4. Вычисление координат центра масс пластинки. Найдем координаты центра масс
пластинки, занимающей в плоскости Оху некоторую область D. Пусть ) ,( ух
–
поверхностная плотность в точке ) ,( ухМ , причем ) ,( ух
– непрерывная функция. Разбив
область D на части ) ..., 2, ,1( niD
i
, выберем в каждой из этих частей некоторую точку
),(
ii
yx и будем считать массу
i
m каждой из частей пластинки приближенно равной
iii
Syx ) ,(
(
i
S – площадь
i
D ). Если считать, что каждая из этих масс сосредоточена в
одной точке, а именно в точке ) ,(
ii
yx , то для координат
cc
yx и центра масс такой системы
материальных точек получим следующие выражения:
n
i
iii
n
i
iiii
c
n
i
iii
n
i
iiii
c
Syx
Syxy
y
Syx
Syxx
x
1
1
1
1
),(
),(
,
),(
),(
, (2.20)
которые представляют собой приближенные значения координат центра масс пластинки.
Чтобы получить точные значения этих координат, необходимо в (2.20) перейти к пределу
при
0
. При этом интегральные суммы перейдут в соответствующие интегралы, и мы
получим, что координаты центра масс пластинки определяются формулами
M
dxdyyxy
y
M
dxdyyxx
x
D
c
D
c
),(
,
),(
, (2.21)
где
D
dxdyyxM ),(
– масса пластинки.
Если пластинка однородная, т. е. constух
) ,(
, то формулы координат центра масс
упрощаются
D
D
c
D
D
c
dxdy
ydxdy
y
dxdy
xdxdy
x , . (2.22)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 46
- 47
- 48
- 49
- 50
- …
- следующая ›
- последняя »
