Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

46
2.1.6. Приложения двойного интеграла
Рассмотрим некоторые геометрические и физические приложения двойных интегралов.
1.
Вычисление объема. Как было установлено п. 2.1.2, объем цилиндрического тела,
ограниченного сверху поверхностью 0),(
yxfz , снизу – плоскостью z = 0, с боков
цилиндрической поверхностью, у которой образующие параллельны оси
Oz, а
направляющей служит граница области
D, вычисляется по формуле

D
dxdyyxfV ),( ,
т. е. с помощью двойных интегралов можно вычислять объемы тел.
Пример 2.1.6. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями y = x, y = 2x,
x + z = 4 (рис. 2.10).
Решение. Имеем

D
dxdyxV )4( ,
где D – заштрихованная на рис. 2.10 треугольная область, ограниченная прямыми y =x,
y = 2x, x = 4. Расставляя пределы интегрирования в двойном интеграле, получаем

3
32
3
64
32)
3
2()4()4()4()4(
4
0
3
2
4
0
2
4
0
4
0
2
24
0
x
xdxxxxdxxdxyxdyxdxV
x
x
x
x
.
Рис. 2.10
2. Вычисление площади. Площадь S области D может быть вычислена с помощью
двойного интеграла по формуле (см. п. 2.1.2).

D
dxdyS .
Пример 2.1.7. Вычислить площадь области D, ограниченной линиями
1 ,1
2
yxxy (рис. 2.11).
4
y = 2x
x
O
4
z
D
y = x
z = 4 – x
y

Страницы