ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
44
Непосредственное вычисление данного интеграла достаточно громоздкое, так как для
сведения его к повторному (сначала по y, а затем по x) необходимо область D разбить на три
части (штриховые линии на рис. 2.8, а) и затем вычислить соответственно три интеграла.
Однако простая замена переменных
vyxuyx
2,
(2.15)
позволяет значительно упростить решение. Прямые 2,1
yxyx в системе координат
Оxy переходят в прямые u = 1, u = 2 в системе координат Ou
v
(рис. 2.8, б), а прямые
32,12 yxyx в прямые 31
vиv . Параллелограмм D взаимно однозначно
преобразуется в прямоугольник D
*
, который является более простой областью
интегрирования.
Рис. 2.8
Найдем якобиан. Для этого из (2.15) выразим x и y через u и v:
3
vu
x
,
3
2 vu
y
.
Следовательно,
3
1
9
2
9
1
3
1
3
1
3
2
3
1
),(
),(
vuD
yxD
.
По формуле (2.14) получаем
.
3
4
14
3
1
2
1
2
9
3
1
23
1
3
1
3
1
)2(
2
1
2
1
3
1
2
3
1
2
1
*
dudu
v
vdvduvdudvdxdyyx
D
D
Рассмотрим важный частный случай формулы (2.14). Возьмем в качестве новых
переменных полярные координаты точки
yxM , . Как известно,
cos
r
x
,
sinry
, (2.16)
где
r
– полярный радиус (
0r
),
– полярный угол (
).
D
O
x
x + y = 1
x + y = 2
2x – y = 1
2x – y = 3
D
*
1 2
3
O
u
а б
1
y
v
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- …
- следующая ›
- последняя »
