Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 92 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

92
В данном случае
2 ,3
,
,sin2)cossin()sin(cos
,cos2)cossin()sin(cos
tettettey
tettettex
ttt
t
ttt
t
следовательно,
.3ln
2
1
3ln
3
1
ln1ln
3
ln
2
ln
2
ln
sin
sin2
2
)sin(cos)sin(cos
sin4cos4
2/
3/
2/
3/
2/
3/
3/
2/
2222

tgtg
t
tg
t
dt
te
dte
ttette
dttete
yx
ds
C
t
t
tt
tt
Задача 1.2. Вычислить криволинейный интеграл первого рода
11 ,: ;)2(
2
xxyCdsyx
C
.
Решение. Имеем
22
41)(1 ,2 xyxy
xx
. Применяя формулу (3.5)
dxyxyxfdsyxf
b
a
x
C
2
)(1)](,[),(
,
получим
.
3
15
12
5
12
1
4
1
4
5
)41(
3
2
8
1
)41(
3
2
8
3
)41(41
8
1
)41(41
8
3
41413
41|)|2(41)2()2(
232323
0
1
232
1
0
232
1
0
0
1
2222
0
1
2
1
0
2
1
1
2
1
1
22

xx
xdxxdxdxxxdxxx
dxxxxdxxxxdsyx
C
Задача 2.1. Найти работу силы jyxiyxF )()( при перемещении материальной
точки вдоль верхней половины эллипса
1
2
2
2
2
b
y
a
x
от точки А (а, 0) к точке В (–а, 0).
Решение. Работа W силы )},( ),,({ yxQyxPF выражается интегралом
AB
dyyxQdxyxP ),(),( , который в данном случае удобно вычислить по формуле (3.11),
используя параметрическое представление эллипса: tbytax sin ,cos
. Верхней половине
эллипса соответствует изменение параметра t от 0 до π. Таким образом, имеем

.2cos
4
2sin
2
)cossincossinsincos(
cos)sincos()sin)(sincos()()(
0
22
0
22
0
2222
0
ababtt
ab
dtabt
ab
dtttbtabtabtta
dttbtbtatatbtadyyxdxyxW
AB
Задача 2.2. Найти работу силы j
x
ixxyF
2
)(
2
вдоль линии С, заданной
уравнением
xy 2 , от точки А (0, 0) к точке В (1, 2).
Решение. Применяя формулу (3.12), получим
.
2
1
2
1
1
22
51
2
)2(
2
)(
1
0
2
25
1
0
23
1
0
22
x
xdxxxdx
x
x
xxxdy
x
dxxxyW
AB

Страницы