Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 93 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

93
Задача 3. С помощью формулы Грина вычислить интеграл
C
dyxxydx
2
, где С –
замкнутый контур, состоящий из частей кривых 0 ,1
2
yxy . Направление обхода
контура С – положительное.
Решение. Формула Грина имеет вид

DC
dxdy
y
P
x
Q
dyyxQdxyxP ),(),(,
где D – область, ограниченная контуром С.
В данном случае
x
y
P
x
x
Q
xyxQxyyxP
,2 ,),( ,),(
2
, следовательно,

CD
xdxdydyxxydx
2
.
Область D ограничена снизу прямой у = 0, сверху – параболой у = 1 – х
2
)11(
х ,
поэтому
0
42
)1(
1
1
42
1
1
2
1
0
1
1
2
2

xx
dxxxxdydxxdxdydyxxydx
x
DC
.
Задача 4. Вычислить поверхностный интеграл первого рода
)20( )(
2
1
: ;1
2222

zyxzSdyxz
S
.
Решение. Для вычисления интеграла воспользуемся формулой (3.25).

D
yx
S
dxdyzzyxzyxfdzyxf
22
)()(1)],(,,[),,(
,
где D – проекция поверхности S на плоскость Оху.
В данном случае поверхностью интегрирования S является часть параболоида
вращения
)(
2
1
22
yxz , отсеченная плоскостью z = 2 (рис. 3.17), а область D ограничена
окружностью х
2
+ y
2
= 4.
Рис. 3.17
Уравнение окружности получается из уравнения параболоида при z = 2. С учетом того,
что xz
x
,
yz
y
, будем иметь
)(
2
1
22
yxz
4
22
yx
2
z
у
х
D

Страницы