Высшая математика. Анкилов А.В - 102 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

102
4.4.5. Предел функции
Определение 4.4.19. Пусть функция )(xfy
определена в некоторой проколотой
окрестности точки
0
x . Число a называется пределом функции )(xfy
в точке
0
x (или при
0
xx ), если для любого сколь угодно малого числа 0
найдется такое число
0)(
, что для всех
0
xx , удовлетворяющих условию
0
xx , выполняется
неравенство
axf )(
. Символически это записывается так:
axf
xx
)(lim
0
.
Определение 4.4.20. Число а называется пределом функции )(xfy при
x
,
стремящемся к бесконечности axf
x
)(lim( ) , если для любого сколь угодно малого числа
0
найдется такое число 0)(
N , что для всех
x
, удовлетворяющих условию )(
Nx ,
выполняется неравенство
axf )( .
Определение 4.4.21. Если предел
0)(lim
0
xf
xx
, то функция
)(xfy
называется
бесконечно малой при
0
xx . Если предел
0)(lim
xf
x
, то функция
)(xfy
называется
бесконечно малой при
x
.
Определение 4.4.22. Функция
)(xfy
называется бесконечно большой при
0
xx ,
если для любого сколь угодно большого числа
0M
найдется число 0)( M
такое, что
для всех
0
xx , )(
0
Mxx
выполняется неравенство Mxf )( , и пишут
)(lim
0
xf
xx
.
Причем, если 0)( xf , то
)(lim
0
xf
xx
, если 0)(
xf , то

)(lim
0
xf
xx
.
Определение 4.4.23. Пусть функция )(xf определена на интервале ),(
0
xb
(соответственно на интервале ),(
0
cx ). Число a называется левосторонним
(правосторонним) пределом функции
)(xfy
в точке
0
x :
))0()(lim()0()(lim
0
0
0
0
00
xfxfaxfxfa
xxxx
, если для любого сколь угодно малого
числа
0
существует такое число 0)(
, что для всех
x
, удовлетворяющих условию
00
)( xxx
(соответственно
)),(
00
xxx
выполняется неравенство
axf )( .
Теорема 4.4.2. Для существования
axf
xx
)(lim
0
необходимо и достаточно, чтобы
axfxf )0()0(
00
.
4.4.6. Основные теоремы о пределах функции
1.
Если
)(lim
0
xf
xx
существует и конечен, то он единственный, и функция в окрестности
точки
0
x ограничена.
2.
Для того чтобы функция
)(xfy
, Xx
имела конечный предел
axf
xx
)(lim
0
0
в
точке
0
x , необходимо и достаточно, чтобы в некоторой
– окрестности точки
0
x
выполнялось равенство
)()( xaxf
, где
)(x
бесконечно малая функция при
0
xx .

Страницы